Презентация на тему: Правильные многоугольники (9 класс)

Правильные многоугольники

Определение правильного многоугольника. Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все (внутренние) углы.

Формула для вычисления угла правильного n-угольника.

Окружность, описанная около правильного многоугольника. Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности. Теорема: около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Окружность, вписанная в правильный многоугольник. Окружность называется вписанной в многоугольник,если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Теорема: В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Дано: АВСD…Аn- правильный многоугольник.Доказать: в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Пусть А1 А 2 …А n - правильный многоугольник, О –центр описанной окружности. При доказательстве теоремы 1 мы выяснили, что ∆ ОА1А2 =∆ОА2А3= ∆ОАnА1 , поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, также равны. Поэтому окружность с центром О и радиусом ОН проходит через точки Н1 , Н2, Нn и касается сторон многоугольника в этих точках, т.е. окружность вписана в данный многоугольник.

Докажем, что вписанная окружность только одна. Предположим, что существует другая вписанная окружность с центром О и радиусом ОА. Тогда её центр равноудалён от сторон многоугольника, т.е. точка О1 лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника, и поэтому совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис.

Дано: АВСD…Аn- правильный многоугольник.Доказать: около любого правильного многоугольника можно провести окружность, и притом только одну. Т.к. угол2 = углу 3 как половины равных углов, то ΔВОС - равнобедренный. Этому треугольнику равны ΔВОА и ΔCOD => они тоже равнобедренные, значит, ОА=ОВ=ОС=OD, т.е. точки А, В, С и D равноудалены от точки О и лежат на окружности (О;ОВ). Аналогично и другие вершины многоугольника лежат на этой же окружности.

Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например А, В, С. Т.к. через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника АВС...Аn можно описать только одну окружность.

Следствия. Следствие №1Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.Следствие №2Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

Формула для вычисления площади правильного многоугольника. Пусть S – площадь правильного n-угольника, a1 – его сторона, Р – периметр, а r и R – радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей. Докажем, что

Для этого, соединим центр данного многоугольника с его вершинами. Тогда многоугольник разобьется на n равных треугольников, площадь каждого из которых равна

Формула для вычисления стороны правильного многоугольника. Выведем формулы: Следовательно, Для вывода этих формул воспользуемся рисунком. В прямоугольном треугольнике А1Н1О

Полагая в формуле n = 3, 4 и 6, получим выражения для сторон правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника:

Построение правильных многоугольников. Задача №1Дано: окружность(О; R)Построить правильный n- угольник.окружность разделим на n равных дуг. Для этого проведем радиусы ОА1, ОА2,…, ОАn этой окружности так, чтобы угол А1ОА2= угол А2ОА3 =…= угол Аn-1ОАn= угол АnОА1= 360°/n (на рисунке n=8). Если теперь провести отрезки А1А2, А2А3,…, Аn-1Аn, АnА1, то получим n- угольник А1А2…Аn. Треугольники А1ОА2, А2ОА3,…, АnОА1 равны друг другу, поэтому А1А2= А2А3=…= Аn-1Аn= АnА1. Отсюда следует, что А1А2…Аn- правильный n- угольник.

Задача №2Дано: А1, А2...Аn - правильный n - угольник Построить правильный 2n-угольникРешение. Опишем около него окружность. Для этого построим биссектрисы углов А1 и А2 и обозначим буквой О точку их пересечения.Затем проведем окружность с центром О радиуса ОА1.Разделим дуги А1А2, А2А3..., Аn А1 пополамКаждую из точек деления В1, В2, ..., Вn соединим отрезками с концами соответствующей дуги. Для построения точек В1, В2, ..., Вn можно воспользоваться серединным перпендикулярами к сторонам данного n - угольника.На рисунке таким способом построен правильный двенадцатиугольник А1 В1 А2 В2 ... А6 В6.

Задача №3Дано: отрезок PQ.Построить правильный шестиугольник , сторона которого равна данному отрезку.Решение:Построим окружность (О;PQ) и отметим на ней произвольную точку А1Не меняя раствора циркуля, построим на этой окружности точки А2, А3, А4, А5, А6 так, чтобы выполнялись равенства А1А2 =А2А3=А3А4=А4А5=А5А6. Соединяя последовательно построенные точки отрезками, получим искомый правильный шестиугольник А1А2А3А4А5А6.

1.Любой правильный многоугольник является выпуклым 2.Любой выпуклый многоугольник является правильным 3.Многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны 4.Треугольник является правильным, если все его углы равны 5.Любой равносторонний треугольник является правильным 6.Любой четырехугольник с равными сторонами является правильным 7.Любой правильный четырехугольник является квадратом

правильно

неправильно

ПРЕЗЕНТАЦИЮ ВЫПОЛНИЛИ Ученицы 9а класса:Афонасенко анастасияМилюкова александраСЕЛЕЗНЁВА АЛЕКСАНДРА