Презентация на тему: Производная (11 класс)

ПРОЕКТ ученицы 11 «Б» классаМОУ Алексеевской СОШ Рябовой СветланыПод руководствомПлешаковой О.В.

ТЕМА ПРОЕКТА:ПРОИЗВОДНАЯ

Из истории; Понятие о производной;Правила вычисления производной: -Основные правила дифференцирования, -Производная степенной функции.Производная сложной функции: -Сложная функция, -Производная триногометрических функций;Применение.

Формула производной встречается нам ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи, рассматривая и развивая вопрос - на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия - применяет её в своих трудах.Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Затем производная и различные изложения с её применением стали встречаться в работах Декарта, французского математика Роберваля и англичанина Грегори. Большой вклад по изучению производной внесли такие умы, как Лопиталь, Бернулли, Лангранж и др

Понятие о производнойПроизводной функции f в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение ∆f/Δx=f(x0+Δx)-f(x0)/Δx при ΔX, стремящемся к нулю.

Основные правила дифференцированияПравило №1. Если функции u и v дифференцируемыв точке x0,то их сумма дифференцируема в этой точке (u+v)'= u'+v'.Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных.

Лемма. Если функция f дифференцируема в точке x0,то она непрерывна в этой точке: ∆f→0 при ∆x→0, т.е.f(x0+∆x )→(x0) при ∆x→0.

Правило №2. Если функции u и v дифференцируема в точке x0,то произведение дифференцируемо в этой точке и (uv)'=u'v+uv'.

Следствие.Если функция u дифференцируема в точке x0,а С-постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и (Cu)'=Cu'. Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак проязводной.

Правило №3. Если функции u и v дифференцируемы в точке x0 и функция v не равна нулю в этой точке, то частное u/v также дифференцируемо в x0 и (u/v)'=u'v-uv'/v².

Производная степенной функции:Для любого целого n и любого x (x≠0 при n≤1) (xⁿ)'=nxⁿ־¹.

Целые рациональные функции (многочлены) и дробно-рациональные функции дифференцируемы в каждой точке своей области определения.

Производная сложной функции: Если функция f имеет производную в точке x0,а функция g имеет производную в точке y0=f(x0), то сложная функция h(x)=g(f(x)) также имеет производную в точке x0 причём h'(x0)=g'(f(x0))·f '(x0).

Производные триногометрических функций:Фориула производной синуса: Функция синус имеет производную в любой точке и (sin x)'=cos x.

Формулы дифференцирования косинуса, тангенса и котангенса: функции y=cos x, y=tg x, y=ctg x имеют производные вкаждой точке своей области определения, и справедливы формулы: (cos x)'=-sin x, (tg x)'=1/cos² x,(ctg x)'=-1/sin²x.

(sin x)'=cos x(cos x)'=-sin x,(tgx)'=1/cos² x,(ctg x)'=-1/sin²x.

Производные широко применимы в настоящее время, например, в экономическом анализе. Они помогают точно вывести данные об изменении экономики государства. Используя их, можно совершенно точно просчитать, как можно увеличить доход государства и за счёт чего он может быть увеличен

Производная широко используется для исследования функций, т.е. для изучения различных свойств функций. Например, с помощью производной можно находить промежутки возрастания и убывания функции, ее наибольшие и наименьшие значения.

КОНЕЦ