Презентация на тему: «Квадратичная функция» 9 класс

Квадратичная функция 9 класс МОУ СОШ № 4 Заполярный, 2008. 5klass.net

Квадратичная функция Определение График Свойства функции График и свойства функции у = ах2 Сдвиг графика у = ах2 Способы построения параболы Квадратичная функция в заданиях ГИА Примеры и комментарии Задания ГИА Резюме

Квадратичная функция Квадратичной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида y = ax2 + bx + c, где a, b и с - некоторые числа, причём а ≠ 0. График любой квадратичной функции – парабола.

График функции

График y = ax2 + bx + c, D = b2 – 4ac - дискриминант M(x0,y0) – вершина параболы: Уравнение параболы, проходящей через точку M: y = a(x – x0)2 + y0 x1, x2 – корни параболы: ax2 + bx + c = 0

Свойства функции 1. Нули функции: y=0 (пересечения с осью Ох) 2.Точки пересечения с осью Оy 3.Возрастание функции( если X2>X1, то f (X2)>f (X1)): с возрастанием аргумента увеличивается значение функции. Убывание функции( если X2>X1, то f (X2)0 и f (x)

Функция y=x2 Построим график функции y=x2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y = x2 9 4 1 0 1 4 9

Функция y=ax2 Построим график функции y=2x2 а>0 а‹0 Построим график функции y=-2x2 у=-2х2 у 0 -2 2 1 2 0 х -2 2 1 2 у у=2х2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y = 2x2 18 8 2 0 2 8 18 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y = 2x2 -18 -8 -2 0 -2 -8 -18

График и свойства функции y=ax2 Графиком функции y=ax2, где a≠0, является парабола с вершиной в начале координат; её осью симметрии служит ось y; при a>0 ветви параболы направлены вверх, при a

Свойства квадратичной функции При a>0 ветви параболы направлены вверх При a

Свойства у = ах2 при а > 0 y = x2 y = 2x2 y = 0,5x2 1. Д(у) = R 2. Е(у)= [0; +∞) 3. четная, т.к. у(-х) = у(х) 4. Возрастает на промежутке [0; +∞) 5. Убывает на промежутке (-∞; 0] 6. Наименьшее значение равное 0 при х = 0

Свойства у = ах2 при а < 0 y = - x2 y = - 2x2 y = - 0,5x2 y 1. Д(у) = R 2. Е(у)= (-∞; 0] 3. четная, т.к. у(-х) = у(х) 4. Возрастает на промежутке (-∞; 0] 5. Убывает на промежутке [0; +∞) 6. Наибольшее значение равное 0 при х = 0

Сдвиг графика функции y = ax2 вдоль осей координат 1. Чтобы построить график функции y = ax2 + g , нужно перенести параболу y = ax2 вдоль оси на g единиц вверх, если g > 0, или на | g | единиц вниз, если g < 0. При этом вершина параболы окажется в точке (0; g). 2. Чтобы построить график функции y = a(x + p)2, нужно перенести параболу y = ax2 вдоль оси x на p единиц влево, если p > 0, или на | p | единиц вправо, если p < 0.При этом вершина параболы окажется в точке (- p ; 0). 3. Чтобы построить график функции y = a(x + p )2 + g, нужно перенести параболу y = ax2 вдоль оси x на p единиц влево, если p >0, или на | p | единиц вправо, если p < 0 и вдоль оси y на g единиц вверх, если g > 0, или на | g | единиц вниз, если g < 0. При этом вершина параболы окажется в точке (- p ; g ).

Функция у = ах2 + g 1) g > 0 2) g < 0 Данный график получается смещением параболы у = ах² по оси Оу на g единиц вверх (если g > 0) или вниз (если g < 0)

Функция у = а(х – р)² 1) р > 0 2) р < 0 График получается смещением параболы у = ах² по оси Ох на р единиц вправо (если р > 0) или влево (если р < 0)

Способы построения графика квадратичной функции 1 СПОСОБ 2 СПОСОБ 3 СПОСОБ Пример №1 Пример №2 Пример №4 Пример №3 Схема Пример №5

1 СПОСОБ. Схема построения графика квадратичной функции y=ax2-bx+c: Построить вершину параболы. Провести через вершину параболы прямую, параллельную оси ординат, - ось симметрии параболы. Найти нули функции, если они есть, и построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы. Построить дополнительные точки. Провести через построенные точки параболу.

2 СПОСОБ. Построение параболы по точкам с ординатой, равной свободному члену квадратного трёхчлена ax2-bx+c.

3 СПОСОБ. y=a(x-m)2 + n График функции y=a(x-m)2+n получается сдвигом графика функции y=ax2 на m единичных отрезков по оси Ох и на n единичных отрезков по оси Оу.

Схема построения параболы: х у 1 2 -1 -1 1 2 3 0 3 у = х2 – 4х + 3 Найти координаты вершины параболы: М(2;-1). Провести ось симметрии: х = 2. Найти нули функции при у = 0: (1;0) и (3;0) Найти дополнительные точки: при х=0, у=3; при х=4, у=3. Соединить полученные точки.

Пример №1 y = 3x2 + 12x + 9 Графиком функции является парабола , ветви параболы направлены вверх , т.к. а = 3, a>0. M(x0;y0)- вершина параболы x0 = ; x0= -12 : 6 = -2 y0 = 3(-2)2+12(-2)+9 = -3. M(-2;3) Прямая х = -2 – ось симметрии Нули функции: y=0 3x2+12x+9 = 0 x2+4x+3 = 0 x1= -1 , x2= -3 0 1 1 -1 -3 -2 -3 9 3 у x 2а -b x 0 -1 y 9 0

Пример №2 y = ¼ x2 + 2x – 5 Графиком функции является парабола , ветви параболы направлены вверх , т.к. а = ¼ , a>0. M(x0;y0)- вершина параболы x0 = ; x0= -2 : ½ = -4 y0 = ¼ (-4)2+2(-4)-5 = -9. M(-4;-9) Прямая х = -4 – ось симметрии Нули функции: y=0 ¼ x2 + 2x – 5 = 0 x2 + 8x – 20 = 0 x1= -10 , x2= 2 -10 0 1 2 -1 -3 -4 -6 -9 у -b 2а x x 0 -2 y -5 -8

Пример №3 Построим график функции y=x2-4x+5. 1) Найдём точки графика, имеющие ординату, равную 5. Для этого решаем уравнение x2 – 4x + 5 = 5. Получаем: х1 = 0, х2 = 4 2) Точки А (0; 5) и В (4; 5) лежат на параболе и имеют одинаковую ординату. Эти точки симметричны относительно оси симметрии параболы, поэтому ось симметрии проходит через середину отрезка АВ. Т.к. абсцисса точки А равна 0, а т. В равна четырём , то уравнение оси параболы х = 2. 3) Подставим значение х в уравнение. Получаем координаты вершины параболы: х0 = 2, у0 = 1. 4) Отмечаем на координатной плоскости т. С (2; 1), построим параболу, проходящую через три точки А, В, С. у=х2-4х+5 А В С 0 х 5 у

Пример №4 Построим график функции y=2(x+1)2-3. Будем действовать следующим образом: 1)Построим параболу y=2x2; 2)Перенесем ее на 1 единицу влево и на 3 единицы вниз – в результате получится график заданной функции y=2(x+1)2 - 3 (см.рис) Действия , которые мы выполнили для построения графика , можно описать такой схемой: y=2x2 y=2(x+1)2 y=2(x+1)2 - 3 Влево на 1 ед. Вниз на 3 ед.

Пример №5 y=-2(x+3)2+2 m = -3 n = 2 у=-2х2 А В М 0 х -3 у 2 у = -2(x+3)2+2 х 1 -1 2 у -2 -2 -8