Презентация на тему: Квадратичная функция (11 класс)

Квадратичная функция Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя школа №30 Выполнила: ученица 11 «Д» класса Воронина Наталья Руководители: Крагель Т.П., Гремяченская Т.В. 2006 г. г. Старый Оскол

Содержание:1. Функция , её график и свойства2. Графики функций и 3. Построение графика квадратичной функции

Определение. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида , где x - независимая переменная, a, b и c - некоторые числа, причем .Примером квадратичной функции является зависимость пути от времени при равноускоренном движении. Если тело движется с ускорением а и к началуотсчета времени t прошло путь м, имея в этот момент скорость м/с, то зависимость пройденного пути s (в метрах) от времени t (в секундах) выражаетсяформулой: Если, например, a= 6, то формула примет вид:

Изучение квадратичной функции мы начнем с частного случая - функции .При а = 1 формула принимает вид . С этой функцией мы ужевстречались. Графиком этой функции является парабола. Построим график функции . Составим таблицу значений этой функции: Построим точки, координаты которых указаны в таблице. Соединив их плавнойлинией, получим график функции .

При любом значение функции больше соответствующегозначения функции в 2 раза. Если переместить каждую точку графикафункции вверх так, чтобы расстояние от этой точки до оси хувеличилось в 2 раза, то она перейдет в точку графика функции , при этом каждая точка этого графика может быть получена из некоторой точки графика функции . Иными словами, график функции можно получить из параболы растяжением от оси х в 2 раза.

Построим теперь график функции . Для этого составим таблицу еезначений: Построив точки, координаты которых указаны в таблице, и соединив их плавной линией, получим график функции :

При любом значение функции меньше соответствующего значения функции в 2 раза. Если переместить каждую точку графика функции вниз так, чтобы расстояние от этой точки до оси х уменьшилось в 2 раза, то она перейдет в точку графика функции причем каждая точка этого графика может быть получена из некоторой точки графика функции . Таким образом, график функции можно получить из параболы сжатием к оси х в 2 раза.

Вообще график функции можно получить из параболы растяжением от оси х в а раз, если а>1, и сжатием к оси х в раз, если 0< а<1. Рассмотрим теперь функцию при а<0. Построим график функции , для чего составим таблицу значений этой функции: Воспользовавшись этой таблицей, построим график функции :

График функции может быть получен из графика функции с помощью симметрии относительно оси х.

Свойства функции при а>0.1. Если x=0, то y=0. График функции проходит через начало координат.2. Если , то y>0. График функции расположен в верхней полуплоскости.3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси у.4. Функция убывает в промежутке и возрастает в промежутке .5. Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает при x=0, наибольшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток .

Свойства функции при а<0. 1. Если x=0, то y=0. График функции проходит через начало координат. 2. Если , то y<0. График функции расположен в нижней полуплоскости. 3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси у. 4. Функция возрастает в промежутке и убывает в промежутке . 5. Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает при x=0, наименьшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток .

ГРАФИКИ ФУНКЦИИ И График функции y=f (x)+n можно получить из графика функции y=f (x) с помощью параллельного переноса вдоль оси у на п единиц вверх, если n>0, или на - п единиц вниз, если n<0. График функции y=f (x-m) можно получить из графика функции у =f (x) с помощью параллельного переноса вдоль оси х на т единиц вправо, если m>0, или на - т единиц влево, если m<0. График функции y=f (x-m)+n можно получить из графика функции y=f (x) с помощью двух соответствующих параллельных переносов.

Пример 1. Выясним, что представляет собой график функции . С этой целью в одной системе координат построим графики функций и . Составим таблицу значений функции : (1) График функции изображен на рисунке:

Чтобы получить таблицу значений функции для тех же значений аргумента, достаточно к найденным значениям функции прибавить 3: (2) Получим график функции , который изображен на рисунке:

График функции - парабола, полученная в результате сдвига вверх графика функции . Вообще график функции является параболой, которую можно получить из графика функции с помощью параллельного переноса вдоль оси у на п единиц вверх, если n>0, или на - п единиц вниз, если n<0.

Пример 2. Рассмотрим теперь функцию и выясним,что представляет собой ее график.Для этого в одной системе координат построим графики функций и . Для построения графика функции воспользуемся таблицей(1). Составим теперь таблицу значений функции . При этом в качестве значений аргумента выберем те, которые на 5 больше соответствующих значений аргумента в таблице (1). Тогда соответствующие им значения функции будут те же,которые записаны во второй строке таблицы (1):(3)

График функции - парабола, полученная в результате сдвига вправо графикафункции . Вообще график функции является параболой, которую можно получитьиз графика функции с помощью параллельного переноса вдоль оси х на т единицвправо, если m>0, или на - т единиц влево,если m<0. Полученные выводы позволяют понять, что представляет собой график Функции . Рассмотрим, например, функцию Ее график можно получить из графика функции с помощью двух параллельных переносов - сдвига параболы на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх.

Вообще график функции является параболой, которую можно получитьиз графика функции с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси х на т единиц вправо, если m>0, или на - т единиц влево, если m<0 , и сдвига вдоль оси у на nединиц вверх - если n>0, или на - п единиц вниз, если n<0. Заметим, что производить параллельные переносы можнов любом порядке: сначала выполнить параллельный переносвдоль оси x, а затем вдоль оси у или наоборот.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ Рассмотрим квадратичную функцию . Выделим из трехчлена квадрат двучлена: Отсюда Мы получили формулу вида , где Значит, график функции есть парабола, которую можно получить из графика функции с помощью двух параллельных переносов – сдвига вдоль оси х и сдвига вдоль оси у.

Отсюда следует, что график функции есть парабола,вершиной которой является точка (m;n), где Осью симметрии параболы служит прямая x=m параллельная оси у. При a>0 ветви параболы направлены вверх, при a<0 - вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить ее в координатной плоскости; 2) построить еще несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.

Пример 1. Построим график функции Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты m и n вершины этой параболы: Значит, вершиной параболы является точка (-3; -4).Составим таблицу значений функции:Построив точки, координаты которых указаны в таблице, и соединив их плавной линией, получим график функции .

При составлении таблицы и построенииграфика учитывалось, что прямая является осью симметрии параболы.Поэтому мы брали точки с абсциссами- 4 и -2, -5 и -1, -6 и 0, симметричные относительно прямой (эти точки имеютодинаковые ординаты). Пример 2. Построим график функции Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты ее вершины:

Вычислив координаты еще нескольких точек, получим таблицу:Соединив плавной линией точки, координаты которых указаны в таблице, получим график функции : Пример 3. Построим график функции .Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины:

Вычислив координаты еще нескольких точек, получим таблицу: График функции изображен на рисунке: