Презентация на тему: действительные числа

Натуральные и целые числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … – ряд натуральных чисел N или (Z+) -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, … – ряд противоположных натуральным чисел Z– …, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … – ряд целых чисел Z (Z+ и Z– и 0) LOGO

Cодержание Рациональные числа 2 Иррациональные числа 3 Действительные числа 4 Натуральные и целые числа 1 LOGO

Множества чисел R Z N LOGO

Делимость натуральных чисел Для двух натуральных чисел a и b если существует натуральное число q такое, что выполняется равенство a = bq, то говорят, что число a делится на число b. a – делимое b – делитель q – частное a : b = q – а делится на b без остатка LOGO

Автор: Семёнова Елена Юрьевна 1о Если a ⋮ с и с ⋮ b, то a ⋮ b. 2о Если a ⋮ b и с ⋮ b, то (a + c) ⋮ b. Пример: 144 ⋮ 12 и 12 ⋮ 3, то 144 ⋮ 3. Пример: 84 ⋮ 3 и 63 ⋮ 3, то (84 + 63) ⋮ 3. 3о Если a ⋮ b и с не делится на b, то (a + c) не делится на b. Пример: 48 ⋮ 3 и 52 не делится на 3, то (48 + 52) не делится на 3. Свойства делимости LOGO

4о Если a ⋮ b и (a + c) ⋮ b, то c ⋮ b. 5о Если a ⋮ b и с ⋮ d, то ac ⋮ bd. Пример: 48 ⋮ 3 и (48 + 57) ⋮ 3, то 57 ⋮ 3. Пример: 81 ⋮ 3 и 56 ⋮ 4, то (81∙56) ⋮ (3∙4). 6о Если a ⋮ b и с N, то ac ⋮ bc, и наоборот. Пример: 48 ⋮ 12 и 11 N, то (48∙11) ⋮ (12∙11), и обратно. Свойства делимости LOGO

Автор: Семёнова Елена Юрьевна 7о Если a ⋮ b и с N, то ac ⋮ b. 8о Если a ⋮ b и с ⋮ b, то для любых n, k N следует (an + ck) ⋮ b. Пример: 48 ⋮ 3 и 13 N, то (48∙13) ⋮ 3. Пример: 81 ⋮ 9 и 54 ⋮ 9, то (81∙17 + 54∙28) ⋮ 9. 9о Среди n последовательных натуральных чисел одно и только одно делится на n. Свойства делимости Пример: среди трех последовательных натур. чисел 111, 112, 113 только одно делится на 3. (111 ⋮ 3) LOGO

Автор: Семёнова Елена Юрьевна На 2: необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2. Пример: 56738 ⋮ 2 т.к. 8 ⋮ 2. Признаки делимости Для того, чтобы натуральное число делилось На 5: необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 5 (0 или 5). Пример: 56735 ⋮ 5 т.к. 5 ⋮ 5. На 10: необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0. Пример: 56730 ⋮ 10. LOGO

Автор: Семёнова Елена Юрьевна На 4: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 4 число, образованное двумя последними цифрами. Пример: 56736 ⋮ 4, т.к. 36 ⋮ 4. Признаки делимости Для того, чтобы натуральное число делилось На 25: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двумя последними цифрами. Пример: 56775 ⋮ 25, т.к. 75 ⋮ 25. На 8: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 8 число, образованное тремя последними цифрами. Пример: 56552 ⋮ 8, т.к. 552 ⋮ 8. LOGO

Автор: Семёнова Елена Юрьевна На 125: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 125 число, образованное тремя последними цифрами. Пример: 56375 ⋮ 125, т.к. 375 ⋮ 125. Признаки делимости Для того, чтобы натуральное число делилось На 3: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3. Пример: 56742 ⋮ 3, т.к. (5+6+7+4+2) ⋮ 3. На 9: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9. Пример: 56545 ⋮ 9, т.к. (5+6+7+4+5) ⋮ 9. LOGO

Автор: Семёнова Елена Юрьевна На 11: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр, взятых со знаком «+», стоящих на нечетных местах, и сумма цифр, взятых со знаком «–», стоящих на четных местах, делилась на 11. Пример: 8637519 ⋮ 11, т.к. (9-1+5-7+3-6+8) ⋮ 11. Признаки делимости Для того чтобы натуральное число делилось На 7 (на 13): необходимо и достаточно, чтобы сумма чисел, образующих грани, взятых со знаком «+» для нечетных граней и со знаком «–» для четных граней, делилась на 7 (на 13). Пример: 254 390 815 ⋮ 7, т.к. (815-390+254) ⋮ 7. LOGO

Автор: Семёнова Елена Юрьевна Обозначения n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ … ∙ (n – 3)(n – 2)(n – 1)n Примеры: 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720 2! = 1 ∙ 2 = 2 1! = 1 0! = 1 abcdef = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f Пример: 2543 = 2∙1000 + 5∙100 + 4∙10 + 3 Пример: 100410 = 1∙100000 + 4∙100 + 1∙10 LOGO

Автор: Семёнова Елена Юрьевна Деление с остатком a = bq + r a – делимое b – делитель Теорема 4. Если натуральное число а больше натурального числа b и а не делится на b, то существует, и только одна, пара натуральных чисел q и r, причем r < b, такая что выполняется равенство: Пример: 37 : 15 = 2 (ост. 7) а = 37, b = 15, тогда 37 = 15 ∙ 2 + 7; где q = 2, r = 7. q – неполное частное r – остаток Замечание. Если а ⋮ b, то можно считать, что r = 0. LOGO

Автор: Семёнова Елена Юрьевна Простые числа Если натуральное число имеет только два делителя – само себя и 1, то его называют простым числом. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, … – простые числа. Теорема 1. Любое, натуральное число а > 1 имеет хотя бы один простой делитель. Теорема 2. Множество простых чисел бесконечно. Теорема 3. Расстояние между двумя соседними простыми числами может быть больше любого наперед заданного натурального числа. LOGO

Автор: Семёнова Елена Юрьевна Cоставные числа Если натуральное число имеет более двух делителей, то его называют составным числом. 1 не является ни простым, ни составным числом. 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, … – составные числа Основная теорема арифметики. Любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители. Примеры: 210 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7; 56 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 7. LOGO

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96 Делители числа 72: Автор: Семёнова Елена Юрьевна Наибольший общий делитель (НОД) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 Делители числа 96: Среди них есть одинаковые: Их называют общими делителями чисел 72 и 96, а наибольшее из них называют наибольшим общим делителем (НОД) чисел 72 и 96. Найти НОД чисел: 72 и 96. НОД (72; 96) = 24 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 24 LOGO

Автор: Семёнова Елена Юрьевна Наибольший общий делитель (НОД) Два натуральных числа a и b называют взаимно простыми числами, если у них нет общих делителей, отличных от 1, т.е. НОД(a, b) = 1. Пример: 35 и 36 взаимно простые числа, т.к. НОД (35; 36) = 1. LOGO

18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, … Кратные числа 12: Автор: Семёнова Елена Юрьевна Наименьшее общее кратное (НОК) 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, … Кратные числа 18: Среди них есть одинаковые: Их называют общими кратными чисел 12 и 18, а наименьшее из них называют наименьшим общим кратным (НОК) чисел 12 и 18. Найти НОК чисел: 12 и 18. НОК (12; 18) = 36 36, 72, 108, 144, … LOGO

Автор: Семёнова Елена Юрьевна Разложение на простые множители 3780 = 22 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 7 2 2 3 3 3 5 7 3780 1890 945 315 105 35 7 1 2 2 2 2 3 3 7 7 7056 3528 1764 882 441 147 49 7 1 7056 = 24 ∙ 32 ∙ 72 НОД (3780; 7056)= = 22 ∙ 32 ∙ 7 = 252 НОК (3780; 7056)= = 24 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 72 = = 105840 LOGO

Рациональные числа Автор: Семёнова Елена Юрьевна Любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Рациональные числа – это числа вида , где m – целое число, а n – натуральное. Q - множество рациональных чисел. Примеры: = 0,17(857142); = 0,(285714); 6 = 6,000… = 6,(0); 7,432 = 7,432000… = 7,432(0). m n 5 28 2 7 LOGO

Рациональные числа Автор: Семёнова Елена Юрьевна Верно и обратное утверждение: Любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Примеры: 0,3333… = 0,(3) = ; 0,3181818… = 0,3(18) = . LOGO

Рациональные числа Автор: Семёнова Елена Юрьевна Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь : Пусть х = 1,(23) = 1,23232323… Умножим х на 100, чтобы запятая переместилась вправо на один период: 100х = 123,232323… х = 1,232323… 100х – х = 122,000000… Т.е. 99х = 122, откуда х = Пример (1 способ): – 122 99 LOGO

Рациональные числа Автор: Семёнова Елена Юрьевна Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь : Пусть 1,(23) = 1,232323… = 1 + 0,23 + 0,0023 + 0,000023 + … Рассмотрим эту сумму 1 и суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: S = 1 + S1, где S1 = b1 / (1 – q) – формула суммы бесконечно убывающей прогрессии со знаменателем q = 0,01, и первым членом b1 = 0,23: S1 = = S = 1 + = Пример (2 способ): 0,23 1 – 0,01 23 99 23 99 122 99 LOGO

Иррациональные числа Автор: Семёнова Елена Юрьевна Термины «рациональное число», «иррациональное число» происходят от латинского слова ratio – разум (буквальный перевод: «рациональное число – разумное число», «иррациональное число – неразумное число»). Иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь. 0,1234567891011121314… π ≈ 3,1415926535897932… е ≈ 2,7182818284590452… √11 ≈ 3,31662479035539… Примеры: LOGO

www.themegallery.com Add your company slogan Thank You ! LOGO LOGO