Презентация на тему: Решение простейших тригонометрических неравенств
Решение простейших тригонометрических неравенств. Алгебра и начала анализа, 10 класс.
Под простейшими тригонометрическими неравенствами понимают неравенства вида: ,где t – выражение с переменной, a. Под знаком “” следует понимать любой из четырёх знаков неравенств: <, >, , .
Для решения тригонометрических неравенств необходимо уметь работать с тригонометрическим кругом: (под «точкой поворота» следует понимать – «точку единичной тригонометрической окружности, полученной при повороте на t радиан от начала отсчета»)
Неравенство sint>a, при a 1 не имеет решений. На окружности не существует точек поворота, ординаты которых больше единицы. Аналогично, неравенство sint<a , при a–1 также не имеет решений. На окружности не существует точек поворота, ординаты которых меньше минус единицы.
Если знак неравенства нестрогий, то неравенство sint a, при a 1 выполняется, при Аналогично, неравенство sinta , при a–1 будет верное, если
Если a(–1;1), то неравенство sinta выполняется либо на дуге (>, ), либо на дуге (<, ). Выбор скобок в записи ответа зависит от знака неравенства Дугу CBA можно записать в виде промежутка [(arcsina+2n; –arcsina+2n)], n, а дугу ADC – в виде промежутка [(–arcsina+2k; arcsina+2+2k)], k,
Пример. Решите неравенство sin(2x–3)>–0,5. Решение. Выполняем рисунок:
Для неравенство cost>a, при a 1 и cost<a, при a –1 проведите рассуждения самостоятельно (под руководством учителя).
Если знак неравенства нестрогий, то неравенство cost a, при a 1 выполняется, при Аналогично, неравенство costa , при a–1 будет верное, если
Если a(–1;1), то неравенство costa выполняется либо на дуге (>, ), либо на дуге (<, ). Выбор скобок в записи ответа зависит от знака неравенства
Пример. Решите неравенство . Решение. Выполняем рисунок:
Так как E(tg)=, то неравенство tgta всегда имеет решение. Значению tgt=a соответствуют числа t (величины углов поворота в радианной мере), попадающие в две точки тригонометрического круга. Для неравенств tgt>a или tgta получаем две дуги. Обе они могут быть записаны в виде промежутка: Для неравенств tgt<a или tgta получаем две дуги. Обе они могут быть записаны в виде промежутка: Выбор скобок в записи ответа зависит от знака неравенства
Так как E(tg)=, то неравенство сtgta всегда имеет решение. Проследите за ходом решения и выведите общие формулы для неравенств:
Пример. Решите неравенство Решение. Применив к левой части неравенства формулу тангенса разности, получим равносильное неравенство: Выполняем рисунок. Получаем:
