Презентация на тему: Решение простейших тригонометрических уравнений

Лучинина Лариса Антиповна учитель математики высшей квалификационной категории ГОУ НПО ПУ № 72 г. Королёв Московской области 900igr.net

Урок алгебры и начала анализа «Решение простейших тригонометрических уравнений»

Цели и задачи Образовательные – вывести формулы решения простейших тригонометрических уравнений, сформировать у учащихся первичные умения и навыки их решения; Развивающие – развивать и совершенствовать у учащихся умение применять знания в изменённой ситуации; развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения; Воспитательные – воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.

Содержание урока Ход урока, деятельность учителя Организационный этап Задачи: подготовить учащихся к работе на уроке. Взаимное приветствие; проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, внешний вид); организация внимания. Деятельность ученика

II. Этап проверки домашнего задания Ход урока, деятельность учителя Задачи: установить правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися. 1. Проверка домашнего задания у доски. а) Сравнить: arc tg(- ½) и arccos√3/2 arc ctg (√3 и arc sin 1 б) Вычислить: arc tg (-√3) + arc cos(- √3/2) + arc sin 1 arc sin (- 1) – 3/2arc cos ½ + + 3arc tg (- 1/√3) в) расположить в порядке возрастания: arc cos 0 , 4; arc cos (- 0,2); arc cos (- 0,8) Деятельность ученика Трое учащихся решают данные задания у интерактивной доски.

II. Этап проверки домашнего задания Ход урока, деятельность учителя 2. С классом проводится фронтальный опрос и устная работа Вопросы: а) Дать определение: Arc sin α, Arc cos α, Arc tg α Arc ctg α; б) Имеют ли смысл выражения: Arc sin 1/3 Arc cos 2/5 Arc tg 5 Arc ctg √3 Arc cos 1,8 Arc sin (- 1,5) Деятельность ученика Учащиеся отвечают на вопросы учителя, выполняют устные упражнения.

II. Этап проверки домашнего задания Ход урока, деятельность учителя в) Найти значение выражений и мотивировать свой ответ: arc sin 0 arc cos ½ arc tg √3 arc ctg 1 г) Расположить в порядке возрастания: arc sin ½; arc sin √3/2; arc sin √2/2; arc cos 1; arc cos √2/2; arc cos √3/2. Деятельность ученика Учащиеся отвечают на вопросы учителя, выполняют устные упражнения.

II. Этап проверки домашнего задания Ход урока, деятельность учителя 3. Проверка работ, выполненных учащимися у доски. 4. Назовите несколько значений угла поворота, при которых выполняются условия: Sin α = ½; Cos α = 1; tg α = √3. Деятельность ученика Каждый учащийся, выполнявший работу, комментирует свой пример. Предполагаемый вариант ответа: α = arc sin ½ = π/6 Учитывая период функции синус α = arc sin ½ + 2π = 13π/6 и т.д.

III. Этап получения новых знаний Ход урока, деятельность учителя Задача: познакомить учащихся с простейшими тригонометрическими уравнениями, вывести формулы и отработать первичные навыки их решения. Учитель диктует, а учащиеся записывают тему урока: «Решение простейших тригонометрических уравнений». Открывается флиптчарт интерактивной доски, где записаны уравнения: Sin t= a, cos t= a, tg t = a, ctg t = a Деятельность ученика Учащиеся привлекаются к определению координат точек пересечения графиков; Делают выводы по ходу рассуждений вместе с учителем. Полученные формулы записывают в тетрадь.

III. Этап получения новых знаний Ход урока, деятельность учителя 1. Даётся определение простейших тригонометрических уравнений. 2. Осуществляется решение уравнений: sin t = 0, t = πn, nЄ Z; Cos t = 0. t = π/2 + πn, nЄ Z; Sin t = 0 Найдём на тригонометрической окружности точки с координатой 0. Из А (1;0) в них можно попасть поворотом на угол πn,; т.е. t = πn, nЄ Z Деятельность ученика x y 0

III. Этап получения новых знаний Ход урока, деятельность учителя Аналогично получают решения уравнения cos t = 0 t = π/2 + πn, nЄ Z; Деятельность ученика y x 0

III. Этап получения новых знаний Ход урока, деятельность учителя Решения уравнений Sin t = 1, t = π/2 + 2πn, nЄ Z; Cos t = 1, t = 2πn, nЄ Z; Sin t = -1, t = -π/2 + 2πn, nЄ Z; Cos t = -1, t = π + 2πn, nЄ Z; учащиеся по вариантам получают самостоятельно и осуществляют проверку через представленную учителем таблицу. Получили формулы решения уравнений (Приложение №1) Деятельность ученика

III. Этап получения новых знаний Ход урока, деятельность учителя 4. Выводятся формулы корней уравнений: Sin t = a, cos t = a, tg t = a. а) Для вывода формулы корней уравнения sin t = a высвечивается флиптчарт с изображением в одной системе координат графиков функций y = sin x и y = a. Если а > 1, (см. рис. 1, приложение № 2), то графики функций y = sin x и y = a не пересекаются, и уравнение sin t = a не имеет корней. Если а < 1, (см. рис.2, приложение № 2), то на отрезке [-π/2; π/2] графики пересекаются в точке с абсциссой х = arc sin a, и , учитывая перид функции синус, получаем: x= arc sin a + 2πn, nЄ Z; (1) Деятельность ученика

III. Этап получения новых знаний Ход урока, деятельность учителя На отрезке [π/2; 3π/2] графики пересекаются в точке с абсциссой x = π – arc sin a и, учитывая период, получаем: x = π – arc sin a + 2πn, nЄ Z, (2) Эти две формулы можно объединить одной: t = (-1)n arc sin a + πn, nЄ Z, (3) б) Аналогично выводятся формулы корней уравнений (см. приложение № 2, рис. 3, 4): Cos t = a, t = +/- arc cos a+ 2πn,nЄ Z, tg t = a , t = arc tg a + πn, nЄ Z. Деятельность ученика

III. Этап получения новых знаний Ход урока, деятельность учителя в) Для решения уравнений ctg t = a используется тождество tg α * ctg α = 1,откуда tg α = 1/ctg α, и записывают уравнение в виде: tg t = 1/a. По окончании вывода формул высвечивается флиптчарт интерактивной доски с конспектом по теме урока (см. приложение № 3) Деятельность ученика

IV. Этап первичного закрепления навыков решения простейших тригонометрических уравнений Ход урока, деятельность учителя Задачи: первичное закрепление навыков решения тригонометрических уравнений в ходе устной работы. Устно решить уравнения: Sin x = ½ Cos x = ½ Sin x = 3 Cos x = ¼ Cos x = - 2,4 tg x = 1 tg x = 1,7. Решения высвечиваются на интерактивной доске по мере поступления ответов. Деятельность ученика Учащиеся, пользуясь полученными формулами, устно решают уравнения.

V. Этап отработки умений и навыков по решению простейших тригонометрических уравнений. Ход урока, деятельность учителя Задачи: отрабатывать умения и навыки решения уравнений. У доски 4 учащихся по очереди решают по два уравнения: а) 2sin x = 1, 2cos x = √3; б) √2 cos x – 1 = 0, √3 tg x – 1 = 0; в) sin 2x = √2 /2, cos x/3 = - ½; г) tg x = 0,8, ctg x = 2,5 Деятельность ученика Учащиеся работают вместе с отвечающими у доски или решают уравнения самостоятельно и сверяют решение с записями на доске.

VI. Этап проверки первичного усвоения знаний, умений и навыков по теме в ходе самостоятельной работы. Ход урока, деятельность учителя Задачи: проверить степень усвоения нового материала, выявить пробелы в знаниях учащихся. Самостоятельная работа. Решите уравнения: 1 вариант 2 вариант Sin x = - √3/2 cos x = ½ Cos x = 1,1 sin x = √3 2sin x – 1 = 0 2cos x -√3 =0 tg 2x = 1 ctg 2x = 1 Деятельность ученика Учащиеся выполняют самостоятельную работу, по команде учителя обмениваются тетрадями и осуществляют взаимопроверку. Верное решение показывается учителем на интерактивной доске.

VII. Домашнее задание. Ход урока, деятельность учителя Задачи: сообщить учащимся домашнее задание, дать краткий инструктаж по его выполнению. П.9, № 137 – 143 (г) Деятельность ученика Учащиеся записывают домашнее задание в тетради.

Приложение № 1 Sin t = 0 Sin t = 1 Sin t = - 1 X = πn, nЄ Z, X = π/2 + 2πn, nЄ Z, X = - π/2 + 2πn, nЄ Z, Cos t = 0 Cos t = 1 Cos t = - 1 X = π/2 + πn, nЄ Z, X = 2πn, nЄ Z, X = π + 2πn, nЄ Z,

Приложение № 2

Приложение № 3 Решение простейших тригонометрических уравнений sin t = а, cos t = а Если а = -1, 0, 1 – см. частный случай Если |а| > 1, уравнения не имеют корней Если |а| < 1, то t= (-1)n arcsin а + Пn, n Є Z t = +/- arccos a + 2Пn; n Є Z tg t = a ctg t = a t = arc tg a + пn, n Є Z t = arc ctg a + пn, n Є Z