Презентация на тему: Решение кубических уравнений

«Нахождение корней кубических многочленов» ученик 10”a” класса гимназии №144 Калининского района г.Санкт-Петербурга Радзевич Павел Владиславович руководитель: Петрова Л. Д., учитель математики 5klass.net

Вы спрашиваете зачем я это делаю? Цель моего исследования: Выяснить плюсы и минусы решений кубических уравнений различных математиков. Выбрать самые лёгкие и практичные пути решения.

План работы: Введение Способы решения а)Теорема Виета 1)Биография 2)Решение б)Схема Горнера 1)Биография 2)Решение в)Решение других учёных 1)Краткая информация об учёных 2)Факты их исследований Сравнение методов решения Итог Литература использованная в презентации

Для нахождения корней кубического многочлена существует несколько способов: Теорема Виета Схема Горнера Другие способы сравнение способов

Франсуа Виет (1540-1603) Французский математик, разработал почти всю элементарную алгебру. Известны «формулы Виета», дающие зависимость между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения . Франсуа Виет - математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде.

Франсуа Виет — замечательный французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления.

Он прославился тем, что сумел расшифровать код перехваченной переписки короля Испании с его представителями в Нидерландах, благодаря чему король Франции был полностью в курсе действий своих противников.

Код был сложным, содержал до 600 различных знаков, которые периодически менялись. Испанцы не могли поверить, что его расшифровали, и обвинили французского короля в связях с нечистой силой. К этому времени относятся свидетельства современников Виета о его огромной трудоспособности. Будучи чем-то увлечен, ученый мог работать по трое суток без сна.

Теорема Виета Кубическое уравнение Если: x1,x2,x3 корни кубического уравнения: p(x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0, то : x1+x2+x3=-b/a x1x2+x2x3+x3x1=c/a x1x2x3=-d/a

Пример(теорема Виета): x3-8x2+40=0 Пусть x1,x2,x3 корни этого кубического уравнения,то: x1+x2+x3=-(-8)/1 x1=-2 x1x2+x2x3+x3x1=0/1 x2=5+√5 x1x2x3=-40/1 x3=5- √5 Ответ: (-2;5-√5;5+√5)

Горнер Уильям Джордж (1786 - 1837) Английский математик. Основные исследования относятся к теории алгебраических уравнений. Разработал способ приближенного решения уравнений любой степени. В 1819 г. ввёл важный для алгебры способ деления многочлена на двучлен   х - а  (схема Горнера).

Метод решения Горнера(схема Горнера): x3-8x2+40=0 Так как корни этого уравнения содержаться среди делителей свободного члена ,то корни будут такими:1 и -1; 2 и -2; 4 и -4 и все остальные X=2 не корень, так как остаток должен равняться «0» Подставим второй делитель Корни: 1 -8 0 40 2 1 -6 -12 -16 -2 1 -10 -20 0

(x+2)(x2-10x+20)=0 x=-2 x=5+√5 x=5-√5 / x2-10x+20=0 x=(10(+/-)√20)/2 D=b2-4ac x=5+√5 D=100-80=20 x=5-√5 x=(-b(+/-)√D)/2a / Ответ: (-2;5-√5;5+√5)

Другие способы решения: Первым, кто смог найти приближенные решения кубических уравнений, был Диофант(≈3 век н.э.), тем самым заложив основу метода хорд. Сохранившиеся работы Диофанта сообщают об этом.

Исаак Ньютон(1643-1727) Сохранившиеся работы Диофанта сообщают об этом. Однако первым, кто понял его методы, был Ферма в XVII веке, а первым,кто дал объяснение методу хорд, был Ньютон(1670-е гг.) Метод старый и совсем неудобен в решении.Во многом уступает схеме Горнера и теореме Виета.

Другие способы решения: Джироламо Кардано (1501-1576) Его способ для решения неполных кубических уравнений.Также как и начальный способ во всем уступает теории Виета и схеме Горнера.

Сравнения схемы Горнера и теоремы Виета. В каждом из методов решения есть свои плюсы и минусы, во многом они дополняют друг друга, например если у кубического уравнения слишком большие коэффициенты, его можно решить с помощью схемы Горнера и проверить теоремой Виета. +/- Теорема Виета +/- Схемы Горнера Итог

+/- теоремы Виета + Самый быстрый способ решения кубического уравнения; Легко можно использовать при проверке ответа; - Невозможно использовать в уравнениях с большими коэффициентами.

+/- схемы Горнера + С помощью схемы можно решать все виды кубических многочленов; Этот способ решения почти до конца убрал вероятность арифметической ошибки; - Решение этим способом требует не мало времени.

Итог моих исследований: Просмотрев множество способов решения кубических уравнений я остался верен двум на мой взгляд самым надёжным и практичным способам - это теорема Виета и схема Горнера, они позволяют быть уверенным в своем ответе. Теперь, выбирая между ними, мне стоит лишь посмотреть на сложность коэффициента уравнения.

Своей работой я смог помочь в выборе решений себе и моим одноклассникам. Я считаю что способы решения кубических уравнений необходимы в жизни, ведь ещё в древние времена учёные пытались найти свой метод поиска ответов на них.

Литература использованная в презентации: Учебник алгебры “Алгебра и начала анализа 10-11 класс” Алимов Ш. А. Книга “100 великих учёных” Д. К. Самин. “Другая история науки от Аристотеля до Ньютона” Сергей Валянский и Дмитрий Калюжный. “Большой энциклопедический словарь” “Большая советская энциклопедия” Фотографии знаменитых учёных http://yandex.ru