Презентация на тему: ТЕОРЕМА ПТОЛЕМЕЯ

Опорные знания 1.Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. 2. Точка пересечения высот – ортоцентр. 3.Соединяя основания высот треугольника получим- ортотреугольник.

Опорные знания 4.Теорема синусов :«Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.» 5.Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, - прямой.

Педальный треугольник 1.Рассмотрим произвольный треугольник АВС. 2.Выберим любую точку Р внутри нашего треугольника. 3.Опустим перпендикуляры из точки Р на стороны АВ,ВС,АС. 4.Получаем РС1, РВ1, РА1 5.Треугольник С1В1А1 вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, называется Педальным треугольником треугольника АВС для «педальной» точки Р.

Эвристическая беседа 1.Рассмотрим произвольный треугольник АВС и углы АС1Р и АВ1Р.Чему они равняются? 2.На какой отрезок опираются данные углы? 3.Исходя из этого, какую теорему вы вспоминаете? 4.Чем является АР? 5.Можно ли описать около треугольника АВ1С 1 окружность? 6.Будут лежать точки Р,В 1,С1 на этой окружности?

Эвристическая беседа 7.Рассмотрим произвольный треугольник АВ1С1 . Какая существует зависимость между углами и сторонами этого треугольника? 8.Как записать данную теорему? 9.Применим данную теорему к треугольнику АВ1С1.

Эвристическая беседа 10.Можно ли записать подобные равенства для треугольников А1С1В и А1В1С?

Эвристическая беседа 11.Так как мы незнаем чему равны синусы углов, то выразим их из основной теоремы синусов:

Эвристическая беседа 12.Следовательно получаем:

Эвристическая беседа 13. Если нам даны следующие условия: 1.Дан произвольный треугольник. 2.Расстояние от педальной точки до вершин треугольника равны x,y,z. Теорема: « Если расстояние от педальной точки до вершин треугольника равны x,y,z, то длины сторон педального треугольника равны.»

План. 1.РС1В 1 с диаметром АР . 2.В1С 1 =АР С1А1 = А1В1 =

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник АВС треугольник АВ1С1. АС1В= АВ1Р=90 По теореме об угле опирающемся на диаметр окружности следует, что Р,С1,В 1 окружности . Где -описанная окружность около треугольника АС1В1.