Презентация на тему: Интеграл и его практическое применение

МКОУ «Большеатлымская средняя общеобразовательная школа» Сближение теории с практикой дает самые благоприятные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает, сами науки развиваются под влиянием ее. П. Л. Чебышев Тема: «Интеграл и его практическое применение»

Выполнил:Ершов Николай, ученик 11 класса.Руководитель:Дедовец Надежда Артемовна, учитель математики

Цель работы: Расширить область математических знаний. Развивать логическое мышление. Вывести общие формулы, позволяющие решать задачи интегрирования. Показать, что интеграл широко применяется в различных сферах жизнедеятельности.

Объект исследования: область математики – интегрирование. Задачи исследования: - собрать, изучить и систематизировать материал об интеграле;- рассмотреть, как интеграл используется при решении различных жизненных ситуаций; - использование интеграла в различных сферах жизнедеятельности.

Немного истории -1675 г, опубликовано в 1686 гввел Г.Лейбниц - 1675 г, Ж Лагранж 5 век до н.э. др.гр. ученый Демокрит 3-4 век до н.э. Архимед ввел метод исчерпывания

Математики Древней Греции Евдокс Книдский408 – 355 до н. э Архимед287 – 212 до н.э. Строгое изложение теории интегралов появилось только в 19 веке. Но задачами на вычисление площадей занимались математики Древней Греции.

«Интеграл» придумал Я.Бернулли (1690)«восстанавливать» от латинского integro«целый» от латинского integer

Исаак Ньютон(1643-1727) Разумом он превосходил род человеческий. Лукреций

Лейбниц Готфрид Вильгельм(1646-1716) « Общее искусство знаков представляет чудесное пособие, так как оно разгружает воображение… Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Обозначения коротко выражают и отображают сущность вещей. Тогда поразительным образом сокращается работа мысли.»Лейбниц

интегральное исчисление неопределенный интеграл (первообразная) И.Ньютон определенныйинтеграл (площадь криволинейной фигуры) Г.Лейбниц

Дифференцирование Интегрирование

Применение интеграла Площадь фигурыОбъем тела вращенияРабота электрического зарядаРабота переменной силы МассаПеремещениеДифференциальное уравнениеДавлениеКоличество теплоты

Задача .Найти объём наклонной треугольной призмы с основанием S и высотой h. 1. Введём ось ОХ перпендикулярно основаниям призмы.2. (АВС)OX=a, a=0, (A1B1C1) OX=b, b=h 3. Проведём плоскость перпендикулярно ОХ через точку с абсциссой х.А2В2С2-треугольник, равный основаниям.Площадь А2В2С2 равна S. 4. S(x) непрерывна на [0;h]

Из эксперимента известно, что скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. За какое время количество бактерий увеличится в m раз по сравнению с начальным? Решение:Пусть x(t) – количество бактерий в момент времени t. x(0) = x0. Изменение количества бактерий со временем описывается уравнением x´(t) = kx(t), k>0, , ln|x| = kt+ln|C|, x=ekteln|C| , x=Cekt - общее решение уравнения.

y“=-ω²y – дифференциальное уравнение гармонических колебаний.ω – заданное положительное числоy=y‘(x) y“=(y‘(x))‘ Решением являются функции: Y(x)=Asin(ωx + φ), где A – амплитуда колебания, ω – частота, φ – начальная фаза. Графиком гармонических колебаний является синусоида

Уже Архимед успешно находил площади фигур, несмотря на то, что в математике его времени не было понятия интегралаНо лишь интегральное исчисление дает общий метод решения задач из различных областей наук.Недаром даже поэты воспевали интеграл. Смысл- там, где змеи интегралаМеж цифр и букв , меж d и f.Там – власть, там творческие горны!Пред волей чисел все – рабы.И солнца путь вершат, покорныНемым речам и ворожбы.В.Брюсов. 

Применение физических моделей при введении понятия интеграла, рассмотрении его свойств, отработке техники интегрирования и изучении приложений способствует осознанному качественному усвоению материала, развитию правильного представления об изучаемом понятии, его огромной значимости в различных науках, формированию мировоззрения, таких специальных качеств, как умение строить математические модели реальных процессов и явлений, исследовать и изучать их, а, следовательно, способствует развитию мышления, памяти, внимания и речи.