Презентация на тему: Численное интегрирование

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Если функция f(x) непрерывна на отрезке то определенный интеграл от этой функции в пределах от a до b существует и имеет вид

Задача численного интегрирования Найти определенный интеграл на отрезке если подынтегральная функция на отрезке задана таблично.Формулы приближенного интегрирования называются квадратурными формулами.

Метод прямоугольников основан на непосредственном определении интеграла: - интегральная сумма, соответствующая некоторому разбиению отрезка и некоторому выбору точек на отрезках разбиения

Вычисление определенного интеграла геометрически сводится к вычислению площади криволинейной трапеции, ограниченной функцией f(x), осью абсцисс и прямыми x = a и x = b.

Учитывая, что высота Прямоугольника ABba есть значение функции в точке

Для увеличения точности численного интегрирования можно отрезок разбить на несколько частей и для каждой из них вычислить приближенное значение площади криволинейной трапеции, основанием которой является отрезок

Практически удобно делить отрезок

Если точку совместить с левым концом отрезка то приближенное значение интеграла может быть представлено формулой левых прямоугольников:

Если же в качестве точки выбрать правый конец отрезка то приближенное значение интеграла вычисляется по формуле правых прямоугольников:

Метод трапеций дугу AB графика подынтегральной функции y = f(x) стягивающей ее хордой и вычислим площадь трапеции ABba. Примем значение определенного интеграла численно равным площади этой трапеции:Это и есть формула трапеций

разделить на несколько частей и применить формулу трапеции к каждому отрезку

Для простоты вычислений удобно разделить отрезок на равные части, в этом случае длина каждого из отрезков разбиения есть Численное значение интеграла на отрезке

А на всем отрезке соответственноЭта формула называется общей формулой трапеции. Ее можно переписать в виде

Метод парабол (метод Симпсона)

функцию y = f(x) на отрезке заменяем квадратичной функцией, принимающей в узлах В качестве интерполяционного многочлена воспользуемся многочленом Ньютона

ТогдаЭто соотношение называется формулой Симпсона.

Для увеличения точности вычислений отрезок разбивают на n пар участков и заменяя подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Ньютона второй степени, получают приближенное значение интеграла на каждом участке длины 2h:

Тогда численное значение определенного интеграла на отрезке будет равно сумме интеграловЭто соотношение называется общей формулой Симпсона. Ее можно записать также в виде