Презентация на тему: Формула Бернулли

Формула Бернулли Автор-составитель:Каторова О.Г., учитель математики МБОУ «Гимназия № 2»

Формулировка теоремы Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность Pn(k) того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна:

Историческая справка ЯКОБ БЕРНУЛЛИ(1654–1705)Дата рождения: 27 декабря 1654г.Место рождения: БазельДата смерти: 16 августа 1705г.Место смерти: БазельГражданство: ШвейцарияНаучная сфера: МатематикМесто работы: Базельский университетНауч. рук.: ЛейбницЯкоб Бернулли (нем. Jakob Bernoulli, 27 декабря 1654, Базель, — 16 августа 1705, там же) — швейцарский математик, брат Иоганна Бернулли; профессор математики Базельского университета (с 1687).Якобу Бернулли принадлежат значительные достижения в теории рядов, дифференциальном исчислении вариационного исчисления, теории вероятностей и теории чисел, где его именем названы числа с некоторыми определенными свойствами.Якобу Бернулли принадлежат также работы по физике, арифметике, алгебре и геометрии.

Пример использования формулы БернуллиРЕШЕНИЕ:Для того, чтобы акции вернулись за 6 дней к своей первоначальной цене, нужно, чтобы за это время они 3 раза поднялись в цене и три раза опустились в цене. Искомая вероятность рассчитывается по формуле БернуллиP6(3) = C36(3/4)3(1/4)3 = 0,13

Проверь себяВ урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых?Аудитор обнаруживает финансовые нарушения у проверяемой фирмы с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что среди 4 фирм-нарушителей будет выявлено больше половины.Игральный кубик бросается 3 раза. Какова вероятность того, что в этой серии испытаний 6 очков появятся ровно 2 раза?

Проверь себяМонета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более, чем 2 раза. Пусть всхожесть семян пшеницы составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из 7 посеянных семян взойдут 5?

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 1Вероятность извлечения белого шара p=20/30=2/3можно считать одной и той же во всех испытаниях;1-p=1/3Используя формулу Бернулли, получаемP4(2) = C42·p2·(1-p)2=(12/2)·(2/3)2·(1/3)2 = 8/27

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 2 Событие состоит в том, что из 4 фирм-нарушителей будет выявлено три или четыре, т.е. P(A)=P4(3)+P4(4)P(A)= C340,93∙0,1+C44 0,94 = 0,93 (0,4+0,9)=0,9477

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 3Пусть А - появление 6 очков в одном испытании. Событие А в каждом из четырех независимых испытаний может произойти, а может и не произойти. Известно, что p= Р(А)=1/6 Тогда, согласно формуле Бернулли получимP3(2)=C23(1/6)2(1-1/6)3-2=3∙1/36∙5/6=3/216≈0,01389

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 4Искомая вероятность равна сумме вероятностей трех событий, состоящих в том, что герб не выпадет ни разу, либо один раз, либо два раза:P(A)=P6(0)+P6(1)+P6(2)P(A)= C06(1/2)0(1/2)6+C16(1/2)1(1/2)5+C26(1/2)2(1/2)4=0,344

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 5Известно, что P=0,9, по формуле Бернулли рассчитаем искомую вероятность:P7(5)=C57 0,95 (1-0,9)2 =21∙0,59049∙0,01=0,124