Презентация на тему: Геометрические места точек

Геометрические места точекГеометрическим местом точек (ГМТ) называется фигура, состоящая из всех точек, удовлетворяющих заданному свойству или нескольким заданным свойствам.Примерами геометрических мест точек являются:окружность – ГМТ, удаленных от данной точки на данное расстояние;круг – ГМТ, удаленных от данной точки на расстояние, не превосходящее данное.

Упражнение 1Пусть O – точка плоскости. Изобразите ГМТ X, для которых выполняются неравенства r OX R.

Упражнение 2На данной прямой a найдите точки, удаленные от данной точки C на заданное расстояние R. Какие при этом возможны случаи?Ответ: Точки пересечения прямой a и окружности с центром в точке C и радиусом R. Получаются две, одна или ни одной точки в зависимости от того, расстояние от точки C до прямой a больше R, равно R или меньше R соответственно.

Упражнение 3На прямой c отметьте точки, удаленные от точки A на расстояние, равное (стороны квадратных клеток равны 1).

Пересечение фигурПусть Ф1 и Ф2 – фигуры на плоскости. Фигура Ф, состоящая из всех точек, принадлежащих фигуре Ф1 и фигуре Ф2, называется пересечением фигур Ф1 и Ф2 и обозначается Ф1 Ф2.

Упражнение 4Даны две точки O1 и O2. Найдите ГМТ X, для которых XO1 R1 и XO2 R2. Пересечением каких фигур является искомое ГМТ.Ответ: Искомое ГМТ является пересечением двух кругов с центрами в точках O1, O2 и радиусами R1, R2.

Объединение фигурПусть Ф1 и Ф2 – фигуры на плоскости. Фигура Ф, состоящая из всех точек, принадлежащих фигуре Ф1 или фигуре Ф2, называется объединением фигур Ф1 и Ф2 и обозначается Ф1 Ф2.

Упражнение 5Даны две точки O1 и O2. Найдите ГМТ X, для которых XO1 R1 или XO2 R2. Объединением каких фигур является искомое ГМТ.Ответ: Искомое ГМТ является объединением двух кругов с центрами в точках O1, O2 и радиусами R1, R2.

Разность фигурПусть Ф1 и Ф2 – фигуры на плоскости. Фигура Ф, состоящая из всех точек, принадлежащих фигуре Ф1 и не принадлежащих фигуре Ф2, называется разностью фигур Ф1 и Ф2 и обозначается Ф1 \ Ф2.

Упражнение 6Даны две точки O1 и O2. Найдите ГМТ X, для которых XO1 R1 и XO2 R2. Разностью каких фигур является искомое ГМТ.Ответ: Искомое ГМТ является разностью двух кругов с центрами в точках O1, O2 и радиусами R1, R2.

Серединный перпендикулярСерединным перпендикуляром к заданному отрезку называется …прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.Теорема. Серединный перпендикуляр к отрезку является ГМТ, одинаково удаленных от концов этого отрезка. Доказательство. Пусть дан отрезок АВ и точка О – его середина. Очевидно, точка О одинаково удалена от точек А, В и принадлежит серединному перпендикуляру. Пусть точка С одинаково удалена от точек А и В и не совпадает с точкой О. Тогда треугольник АВС равнобедренный и СО – медиана. По свойству равнобедренного треугольника медиана является также и высотой. Значит, точка С принадлежит серединному перпендикуляру. Обратно, пусть точка С принадлежит серединному перпендикуляру и не совпадает с О, тогда прямоугольные треугольники АОС и ВОС равны (по катетам). Следовательно, АС=ВС.

Упражнение 7Постройте геометрическое место точек, равноудаленных от точек A и B.

Упражнение 8На прямой c отметьте точку C равноудаленную от точек A и B.

Упражнение 9Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему две данные точки.

Упражнение 10Найдите геометрическое место вершин С равнобедренных треугольников с заданным основанием AB.Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку AB без середины этого отрезка.

Упражнение 11Пусть А и В - точки плоскости. Найдите геометрическое место точек С, для которых АС ВС.Ответ: Полуплоскость, определяемая серединным перпендикуляром к отрезку AB, содержащая точку A;

Упражнение 12Пусть А и В точки плоскости, c - прямая. Найдите геометрическое место точек прямой c, расположенных ближе к А, чем к В. В каком случае таких точек нет?Ответ: Часть прямой c, лежащая внутри полуплоскости, определяемой серединным перпендикуляром к отрезку AB и точкой A. Если прямая c целиком лежит в полуплоскости, определяемой серединным перпендикуляром и точкой B, то таких точек нет.

Упражнение 13Даны три точки: А, В, С. Найдите точки, которые одинаково удалены от точек А и В и находятся на расстоянии R от точки С.Ответ: Точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку AB и окружности с центром в точке C и радиусом R.

Упражнение 14Даны две точки A и B. Найдите ГМТ C, для которых CA CB AB. Пересечением каких фигур является искомое ГМТ.Ответ: Искомое ГМТ является пересечением круга и полуплоскости.

Упражнение 15Даны три точки A, B, C. Найдите ГМТ X, для которых AX BX и BX CX. Пересечением каких фигур является искомое ГМТ.Ответ: Искомое ГМТ является пересечением двух полупространств, определяемых серединными перпендикулярами к отрезкам AB и BC.

Упражнение 16Даны три точки A, B, C. Найдите ГМТ X, для которых AX BX или BX CX. Объединением каких фигур является искомое ГМТ.Ответ: Искомое ГМТ является объединением двух полупространств, определяемых серединными перпендикулярами к отрезкам AB и BC.

Биссектриса углаТеорема. Биссектриса угла является ГМТ, лежащих внутри этого угла и одинаково удаленных от его сторон.Доказательство. Рассмотрим угол c вершиной в точке О и сторонами а, b. Пусть точка С лежит внутри данного угла. Опустим из нее перпендикуляры СА и CB на стороны а и b. Если CA = CB, то прямоугольные треугольники АOС и ВOС равны (по гипотенузе и катету). Следовательно, углы AOC и BOC равны. Значит, точка C принадлежит биссектрисе угла. Обратно, если точка C принадлежит биссектрисе угла, то прямоугольные треугольники AOC и BOC равны (по гипотенузе и острому углу). Следовательно, AC = BC. Значит, точка С одинаково удалена от сторон данного угла.

Упражнение 17Постройте геометрическое место внутренних точек угла AOB, равноудаленных от его сторон.

Упражнение 18На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от сторон угла AOB.

Упражнение 19Что является геометрическим местом центров окружностей касающихся двух данных пересекающихся прямых?Ответ: Биссектрисы углов, образующихся при пересечении данных прямых, без точки пересечения этих прямых.

Упражнение 20Пусть a и b - пересекающиеся прямые. Найдите геометрическое место точек: а) одинаково удаленных от a и b; б) расположенных ближе к a, чем к b.Ответ: а) Точки, принадлежащие биссектрисам четырех углов, образованных данными прямыми; б) внутренности двух вертикальных углов, образованных биссектрисами.

Упражнение 21На прямой c, пересекающей стороны угла, найдите точку C, одинаково удаленную от этих сторон.Ответ: Точка пересечения данной прямой с биссектрисой данного угла.

Упражнение 22Дан угол АOB и точки M, N на его сторонах. Внутри угла найдите точку, одинаково удаленную от точек M и N и находящуюся на одинаковом расстоянии от сторон угла. Ответ: Точка пересечения серединного перпендикуляра к MN с биссектрисой угла.