Презентация на тему: Методы решения логарифмических уравнений

методы решения логарифмических уравнений Методическая разработка учащихся 10 класса МОУ «Бельская СОШ»г. Белого Тверской области

Основные методы решений логарифмических уравнений

Определение Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, , называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

1. Использование определения логарифма.

2. Метод потенцирования.

3. Введение новой переменной.

4. Приведение логарифмов к одному основанию.

5. Метод логарифмирования.

Каждому уравнению поставьте в соответствие метод его решения

Функциональные методы решения логарифмических уравнений

Использование области допустимых значений уравнения

ОпределениеОбластью допустимых значений уравнения называется общая область определения всех функций, входящих в уравнениеУтверждение1 Если область допустимых значений уравнения пустое множество, то уравнение не имеет корней.Например: 

Утверждение 2.Если область допустимых значений уравнения состоит из конечного числа значений, то корни уравнения содержатся среди этих значений.Это условие является необходимым, но не является достаточным.Поэтому необходима проверка. Пример. + ОДЗ

Проверка: При х = -1 получаем 0=2. Равенство неверно. Значит х = -1 не является корнем уравнения. При х=1 получаем 0=0. Значит х=1 - корень уравнения. Ответ:1

Алгоритм решенияНаходим ОДЗ уравнения.2) Если ОДЗ - пустое множество, то уравнение не имеет корней. Если ОДЗ - конечное множество значений, то эти значения надо подставить в уравнение.

Использование монотонности функций.

Теорема. Если функция ƒ(х) монотонна на некотором промежутке , то уравнение ƒ(х) = c имеет на этом промежутке не более одного корня. Пример: log3 x + log8 (5 + x) = 2 ОДЗ: х > 0 5 + x > 0 0 < x < 5 Подбором находим корень уравнения x = 3. Т.к. функция ƒ(х) = log3 x + log8 (5 + x) – есть сумма двух возрастающих функций, то она возрастающая. Значит тогда данное уравнение имеет единственный корень.   Ответ: 3.

Теорема. Если на некотором промежутке функция ƒ(х) возрастает, а функция g(х) убывает, то уравнение ƒ(х) = g(х) имеет на этом промежутке не более одного корня. Пример: log0,5 8/х = 2 – 2х ОДЗ: x > 0 Подбором находим корень уравнения x = 2. Функции: y1 (x)= 8/х и y2 (x) = log0,5 x – убывающие Функция ƒ (x) = y1(y2(x)) = log0,5 8/х - возрастающая (как убывающая функция от убывающей) Функция g(x) = 2 – 2x – убывающая Тогда данное уравнение имеет единственный корень.   Ответ: 2

Алгоритм решенияНайти ОДЗ.Подбором найти корень уравнения.С помощью монотонности функции доказать, что корень единственный.

Использование множества значений (ограниченности) функций

f(x) и g(x)- элементарные функции, Е(f) и Е(g) – множества значений этих функций.Утверждение 1. Если пересечение множеств значений функций f(x) и g(x) пусто ( E(ƒ)∩ E(g)=Ø ),то уравнение f(x)= g(x) не имеет корней.Пример:Рассмотрим функции f(x)= и g(x)= Найдём их области значений.Е(f): Е(g):

Утверждение 2.Если E(ƒ)∩E(g)= и f(x)≤ M, а g(x)≥M, то уравнение f(x)= g(x) равносильно системе уравнений Пример

Алгоритм решения1.Оценить обе части уравнения2.Если f(x)≤ M, а g(x)≥M, то равенство f(x)= g(x) возможно тогда и только тогда, когда f(x) и g (x) одновременно будут равны M, т.е. f(x)= g(x)Можно решить одно уравнение системы и полученный корень подставить в другое уравнение.

Проверьте свои знания тестированием Пройдите по ссылке: Логарифмические уравнения.exe

У меня всё получилось!!!Надо решить ещё пару примеров.Ну кто придумал эту математику !

Спасибо за работу