Презентация на тему: Дифференцирование показательной и логарифмической функции

Дифференцирование показательной и логарифмической функции

Число е. Функция y = ex, её свойства, график, дифференцирование

Рассмотрим показательную функцию y = аx , где а > 1.Построим для различных оснований а графики: 1. y = 2x

1)Все графики проходят через точку (0 ; 1);2) Все графики имеют горизонтальную асимптоту у = 0 при х ∞;3) Все они обращены выпуклостью вниз;4) Все они имеют касательные во всех своих точках.

Проведем касательную к графику функции y = 2x в точке х = 0 и измерим угол , который образует касательная с осью х

С помощью точных построений касательных к графикам можно заметить, что если основание а показательной функции y = аx постепенно увеличивается основание от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке х = 0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35’ до 66,5’. Следовательно существует основание а, для которого соответствующий угол равен 45’. И это значение а заключено между 2 и 3, т.к. при а = 2 угол равен 35’, при а = 3 он равен 48’. В курсе математического анализа доказано, что данное основание существует, его принято обозначать буквой е. Установлено, что е – иррациональное число, т. е. представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь:е = 2, 7182818284590… ; На практике обычно полагают, что е ≈ 2,7.

График и свойства функции y = еx : 1) D (f) = ( - ∞; + ∞ ); 2) не является ни четной, ни нечетной; 3) возрастает; 4) не ограничена сверху, ограничена снизу 5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения; 6) непрерывна; 7) E (f) = ( 0; + ∞ ); 8) выпукла вниз; 9) дифференцируема.

В курсе математического анализа доказано, что функция y = еx имеет производную в любой точке х: (ex) = ex

Пример 1. Провести касательную к графику функции в точке x=1.

Вычислить значение производной функции в точке x = 3.

Исследовать на экстремум функцию

х = -2 – точка максимума х = 0 – точка минимума

Натуральные логарифмы. Функция y = ln x, её свойства, график, дифференцирование

Если основанием логарифма служит число е, то говорят, что задан натуральный логарифм. Для натуральных логарифмов введено специальное обозначение ln (l – логарифм, n – натуральный).

График и свойства функции y = ln x Свойства функции y = ln x: 1) D (f) = ( 0; + ∞); 2) не является ни четной, ни нечетной; 3) возрастает на ( 0; + ∞); 4) не ограничена; 5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 6) непрерывна; 7) Е (f) = ( - ∞; + ∞ ); 8) выпукла верх; 9) дифференцируема.

В курсе математического анализа доказано, что для любого значения х>0 справедлива формула дифференцирования

Вычислить значение производной функции в точке x = -1.

Дифференцирование функции

Дифференцирование функции

Интернет-ресурсы: http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.htmlhttp://ru.wikipedia.org/wiki/http://900igr.net/prezentatsiihttp://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html