Презентация на тему: Вычисление значений многочлена. Схема Горнера

Вычисление значений многочлена. Схема Горнера

При аппроксимации функций, а также в некоторых других задачах приходится вычислять значения многочленов вида При непосредственном вычислениипотребуется выполнить большое число операций

Теорема Безу

Рассмотрим более простой метод деления многочлена

Раскрывая скобки в последнем равенстве имеемПосле приведения подобных членов имеем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим равенства

Вычисления удобно располагать по следующей схеме (называемой схемой Горнера):Этот метод требует n умножений и n сложений.

Вычисление значений аналитической функции

Действительная функция f(x) называется аналитической в точке этой точки функция разлагается в степенной ряд (ряд Тейлора):

Разностьназывается остаточным членом и представляет собой ошибку при замене функции f(x) полиномом Тейлора

Как известно,В частности, для ряда Маклорена имеемИмеются также другие формы остаточных членов.

Вычисление значений показательной функции Для показательной функции справедливо разложениеОстаточный член ряда имеет вид

Приближенное вычисление для малых x удобно вести , пользуясь следующей рекуррентной записью: приближенно дает искомый результат.

Для остатка ряда может быть получена следующая оценка:Поэтому процесс суммирования может быть прекращен, как только очередной вычисленный член ряда будет по модулю меньше заданной допустимой погрешности:Для больших по модулю значений x этот ряд мало пригоден для вычислений

Вычисление значений логарифмической функции

Вычисление значений синуса и косинуса.

Эти ряды при больших x сходятся медленно, но, учитывая периодичность функции и формулы приведения тригонометрических функций, легко заключить, что достаточно уметь вычислять

При этом можно использовать следующие рекуррентные формулы:

Так как в промежутке знакочередующийся с монотонно убывающими по модулю членами, то для его остатка справедлива оценка

Аналогично для ряда Следовательно, процесс вычисления можно прекратить, как только очередной полученный член ряда по модулю будет меньше допустимой погрешности