Презентация на тему: Аппроксимация функций

Аппроксимация функций(продолжение)

Многочлен Лагранжа. Перейдем к случаю глобальной интерполяции.Будем искать интерполяционный многочлен в виде линейной комбинации многочленов степени n:

При этом потребуем, чтобы каждый многочлен li(x) обращался в нуль во всех узлах интерполяции, за исключением одного (i-го), где он должен быть равен единице.

этим условиям при i = 0 отвечает многочлен видаДействительно, l0(x0) = 1. При х = х1, х2, ... , хn числитель выражения обращается в нуль.

Аналогично………………………………………………………

Подставляя l0 , l1 ,…, ln в L(x) получимэта формула определяет интерполяционный многочлен Лагранжа.

Из формулы для L(x)можно получить выражения для линейной (n = 1) и квадратичной (n = 2) интерполяций:

Существует несколько обобщений интерполяционного многочлена Лагранжа. интерполяционные многочлены Эрмита. Здесь наряду со значениями функции yi в узлах xi задаются значения ее производной уi’. Задача состоит в том, чтобы найти многочлен степени 2n + 1, значения которого и значения его производной в узлах xi удовлетворяют соответственно соотношениям

Многочлен Ньютона. рассмотрим случай равноотстоящих значений аргумента, т. е. хi - хi-1 = h = const (i = 1,2,...,n). Величина h называется шагом.

Введем понятие конечных разностей. Пусть известны значения функции в узлах Составим разности значений функции: Эти значения называются первыми разностями (или разностями первого порядка) функции.

вторые разности функции: Аналогично составляются разности порядка k :

Конечные разности можно выразить непосредственно через значения функции. Например,

Аналогично для любого k можно написать Эту формулу можно записать и для значения разности в узле xi:

Используя конечные разности, можно определить уk

Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот многочлен будем искать в следующем виде:

График многочлена должен проходить через заданные узлы, Эти условия используем для нахождения коэффициентов многочлена:

Найдем отсюда коэффициенты

Общая формула имеет вид

Подставляя эти выражения в формулу для N(x) получаем следующий вид интерполяционного многочлена Ньютона:

Данную формулу часто записывают в другом виде. Для этого вводится переменная тогда

тогда Полученное выражение называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования вперед.

Полученное выражение может аппроксимировать данную функцию на всем отрезке изменения аргумента [х0, хn]. Однако с точки зрения повышения точности расчетов более целесообразно использовать эту формулу для вычисления значении функции в точках левой половины рассматриваемого отрезка.

Для правой половины отрезка [х0, хn]. разности лучше вычислять справа налево. В этом случае

тогда Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования назад.