PPt4Web Хостинг презентаций

Главная / Математика / Симметрические системы уравнений
X Код для использования на сайте:

Скопируйте этот код и вставьте его на свой сайт

X

Чтобы скачать данную презентацию, порекомендуйте, пожалуйста, её своим друзьям в любой соц. сети.

После чего скачивание начнётся автоматически!

Кнопки:

Презентация на тему: Симметрические системы уравнений


Скачать эту презентацию

Презентация на тему: Симметрические системы уравнений


Скачать эту презентацию



№ слайда 1 Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 классаМОУ
Описание слайда:

Симметрические системы уравнений Автор: Гончаровская Алина учащаяся 11 классаМОУ Рощинской СОШ«Образовательный центр» Руководитель: Пятовская Людмила Петровна – учитель математики высшей категории 2008-2009 учебный год

№ слайда 2 Оглавление 1. Введение2. Понятие симметрии, её основные виды3. Решение задач при
Описание слайда:

Оглавление 1. Введение2. Понятие симметрии, её основные виды3. Решение задач при помощи симметрии4. Симметрические системы5. Способы решения симметрических систем. Метод замены переменных6. Теоремы, используемые при решении симметрических систем7. Заключение8. Список используемой литературы

№ слайда 3 Введение Проблема моего проекта заключается в том, что для успешной сдачи ЕГЭ тр
Описание слайда:

Введение Проблема моего проекта заключается в том, что для успешной сдачи ЕГЭ требуется умение решать различные системы уравнений, а в курсе средней школы им отведено недостаточно времени, необходимого познать этот вопрос глубже.Цель работы: подготовиться к успешной сдачи ЕГЭ.Задачи работы:Расширить свои знания в области математики, связанные с понятием «симметрия».Повысить свою математическую культуру, используя понятие «симметрия» при решении систем уравнений, называемых симметрическими, а также других задач математики.

№ слайда 4 Понятие симметрии. Симметрия — (др.-греч. συμμετρία), в широком смысле — неизмен
Описание слайда:

Понятие симметрии. Симметрия — (др.-греч. συμμετρία), в широком смысле — неизменность при каких-либо преобразованиях. Так, например, сферическая симметрия тела означает, что вид тела не изменится, если его вращать в пространстве на произвольные углы. Двусторонняя симметрия означает, что право и лево относительно какой-либо плоскости выглядят одинаково.

№ слайда 5 Симметрия бывает:двусторонняя;симметрия n-порядка;  аксиальная; сферическая; тра
Описание слайда:

Симметрия бывает:двусторонняя;симметрия n-порядка;  аксиальная; сферическая; трансляционная

№ слайда 6 Решение задач при помощи симметрии. Задача №1 Двое по очереди кладут одинаковые
Описание слайда:

Решение задач при помощи симметрии. Задача №1 Двое по очереди кладут одинаковые монеты на круглый стол, причём монеты не должны накрывать друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре? (Иначе говоря, у какого из игроков есть выигрышная стратегия?) Решение. При правильной игре выигрывает тот, кто начинает - первый игрок. Вот его стратегия. Первым ходом он кладёт монету в центр стола. Затем после каждого хода второго первый кладёт монету симметрично монете, только что положенной вторым, относительно центра стола (рис. 1). Очевидно, если возможен очередной ход второго игрока, то возможен и симметричный ему ответный ход первого. Следовательно, первый игрок побеждает.

№ слайда 7 Задача №2 На плоскости дана прямая l и точки A и B по одну сторону от неё. Нужно
Описание слайда:

Задача №2 На плоскости дана прямая l и точки A и B по одну сторону от неё. Нужно найти на прямой такую точку C, чтобы сумма длин отрезков AC и BC была минимальна. Решение. Построим точку A', симметричную A относительно прямой l. Заметим, что для любой точки C, лежащей на прямой l, AC=A'C. Поэтому AC+BC=A'C+BC.В силу неравенства треугольника сумма A'C+BC минимальна тогда и только тогда, когда точка C лежит на отрезке A'B (рис. 2). Итак, C=A'B l.

№ слайда 8 Задача №3 На плоскости дан правильный n-угольник A1A2... An, точка O - его центр
Описание слайда:

Задача №3 На плоскости дан правильный n-угольник A1A2... An, точка O - его центр (рис. 3). Найти вектор . Решение. Введём обозначения: φ= A1OA2, - поворот на угол φ с центром в точке O (т. е. есть вектор, полученный из вектора указанным поворотом). Тогда, поскольку многоугольник A1A2... An правильный, Как известно, сложение векторов и поворот перестановочны: если сумму нескольких векторов повернуть на угол φ и, наоборот, каждый из векторов-слагаемых повернуть на тот же угол, а затем сложить, результат будет один и тот же. Кроме того, сумма векторов не зависит от их порядка. Поэтому: Итак, вектор не меняется при повороте на угол 0o<φ <360o. Значит, = .

№ слайда 9 Задача №4При каких a и b система уравнений Если тройка чисел (x0,y0,z0 ) - решен
Описание слайда:

Задача №4При каких a и b система уравнений Если тройка чисел (x0,y0,z0 ) - решение системы, то решениями будут и тройки, полученные из неё всевозможными перестановками: (x0 ,z0 ,y0 ), (y0 ,x0 ,z0 ), (y0 ,z0 ,x0 ), (z0 ,x0 ,y0 ), (z0 ,y0 ,x0 ). Решение может быть единственным только в том случае, когда x0 =y0 =z0 . Из первого уравнения х0 =y0 =z 0=1. Подставляя эти значения x, y и z во второе и третье уравнения, получаем, что a=b=3. Осталось только проверить, что при этих a и b у системы действительно нет других решений, кроме (1,1,1).

№ слайда 10 Последняя задача и является примером симметрической системы.Функция f (x;y) назы
Описание слайда:

Последняя задача и является примером симметрической системы.Функция f (x;y) называется симметрической, если для всех x и y выполнено равенство Например: Многочлен от двух переменных вида f(x,y) = 3x 2 – 2xy + 3y 2+ 15является симметрической функцией. В самом деле,

№ слайда 11 Примеры симметрических функций: u = x +y;u = 2x 2 -3xy+2y 2 ,v = xy;u = x 2 + y
Описание слайда:

Примеры симметрических функций: u = x +y;u = 2x 2 -3xy+2y 2 ,v = xy;u = x 2 + y 2 ;

№ слайда 12 Способы решения симметрических систем. Симметрические системы можно решать метод
Описание слайда:

Способы решения симметрических систем. Симметрические системы можно решать методом замены переменных, в роли которых выступают основные симметрические многочлены. Симметрическая система двух уравнений с двумя неизвестными х и у решается подстановкой u = х + у , v = ху. х 2 + у 2 = (х + у) 2 - 2ху = u 2 - 2v,х 3 + у 3 = (х + у)(х 2 -ху + у 2) = u (u 2- 2v – v) = u 3 - 3uv,х4 + у 4 = (х 2 + у 2)2 - 2х 2у 2 = (u 2 - 2v) 2 - 2v 2 = u 4 - 4u 2v + 2v 2,х 2 + ху + у 2 = u 2 - 2v + v = u 2 - v и т.д.

№ слайда 13 Пример №1: х 2+ ху + у 2 =13, х + у = 4;Пусть х + у = u, ху = v. u 2 – v = 13, u
Описание слайда:

Пример №1: х 2+ ху + у 2 =13, х + у = 4;Пусть х + у = u, ху = v. u 2 – v = 13, u = 4; 16 – v = 13, u = 4; v = 3, u = 4; Произведем обратную замену. х + у = 4, ху = 3; х = 4 – у ху = 3; х = 4 – у, (4 – у) у = 3; х = 4 – у, у 1 = 3; у 2= 1; х 1 = 1, х 2 = 3, у 1 = 3, у 2 = 1.Ответ: (1; 3); (3; 1).

№ слайда 14 Пример №2 3 х 2у – 2ху + 3ху 2 = 78,2х – 3ху + 2у + 8 = 0С помощью основных симм
Описание слайда:

Пример №2 3 х 2у – 2ху + 3ху 2 = 78,2х – 3ху + 2у + 8 = 0С помощью основных симметрических многочленов система может записана в следующем виде 3uv – 2v = 78, 2u – 3v = -8. Выражая из второго уравнения u = и подставляя его в первое уравнение, получим 9v2– 28v – 156 = 0. Корни этого уравнения v 1 = 6 и v 2 = - позволяют найти соответствующие им значения u1 = 5, u2= - из выражения u = .

№ слайда 15 Решим теперь следующую совокупность систем х + у = 5, и х + у = - , ху = 6 ху =
Описание слайда:

Решим теперь следующую совокупность систем х + у = 5, и х + у = - , ху = 6 ху = - . х = 5 – у, и у = -х - , ху = 6 ху = - . х = 5 – у, и у = -х - , у (5 – у) = 6 х (-х - ) = - . х = 5 – у, и у = -х - , у 1= 3, у 2 =2 х 1 = , х 2 = - х 1 = 2, х 2 = 3, и х 1 = , х 2 = - у 1= 3, у 2 =2 у 1 = - , у 2= Ответ: (2; 3), (3; 2), ( ; - ), (- ; ).

№ слайда 16 Пример №3: Решение: Возведем второе уравнение в куб, получим: Таким образом, по
Описание слайда:

Пример №3: Решение: Возведем второе уравнение в куб, получим: Таким образом, по теореме Виета, являются корнями квадратного Заметим, что мы нашли один из корней уравнения

№ слайда 17 Теоремы, используемые при решении симметрических систем. Теорема 1.  (о симметри
Описание слайда:

Теоремы, используемые при решении симметрических систем. Теорема 1.  (о симметрических многочленах) Любой симметрический многочлен от двух переменных представим в виде функции от двух основных симметрических многочленов Другими словами, для любого симметрического многочлена f (x, y) существует такая функция двух переменных φ (u, v), что

№ слайда 18 Теорема 2.  (о симметрических многочленах) Любой симметрический многочлен от трё
Описание слайда:

Теорема 2.  (о симметрических многочленах) Любой симметрический многочлен от трёх переменных представим в виде функции от трёх основных симметрических многочленов: Другими словами, для любого симметрического многочлена f (x, y) существует такая функция трёх переменных θ (u, v, w), что

№ слайда 19 Более сложные симметрические системы – системы, содержащие модуль: | x – y | + y
Описание слайда:

Более сложные симметрические системы – системы, содержащие модуль: | x – y | + y2 = 3,| x – 1 | + | y – 1 | = 2.Рассмотрим данную систему отдельно при х < 1 и при х ≥ 1.Если х < 1, то:а) при у < х система принимает видх – у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2,илих – у + у 2 = 3,х + у = 0,откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;

№ слайда 20 б) при х ≤ у < 1 система принимает вид - х + у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2,ил
Описание слайда:

б) при х ≤ у < 1 система принимает вид - х + у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2,или - х + у + у 2 = 3,х + у = 0,откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;в) при у ≥ 1 (тогда у > х) система принимает вид - х + у + у 2 = 3, - х + 1 + у – 1 = 2,или - х + у + у 2 = 3,х – у = - 2,откуда находим х 1 = - 3, у 1 = - 1, х 2 = - 1, у 2 = 1. Вторая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. е. является решением данной системы.

№ слайда 21 Если х ≥ 1, то:а) х > у и у < 1 система принимает видх – у + у 2 = 3,х – 1 – у =
Описание слайда:

Если х ≥ 1, то:а) х > у и у < 1 система принимает видх – у + у 2 = 3,х – 1 – у = 1 = 2,или х – у + у 2= 3,х – у = 2,откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы;б) при х > у и у ≥ 1 система принимает видх – у + у 2 = 3,х – 1 + у – 1 = 2,илих – у + у 2 = 3,х + у = 4,откуда находим х = 1, у = 3. Эта пара чисел не принадлежит рассматриваемой области;

№ слайда 22 в) при х ≤ у (тогда у ≥ 1) система принимает вид - х + у + у 2 = 3,х – 1 + у – 1
Описание слайда:

в) при х ≤ у (тогда у ≥ 1) система принимает вид - х + у + у 2 = 3,х – 1 + у – 1 = 2,или - х + у + у 2 = 3,х + у = 4,откуда находим х 1 = 5 + √8, у 1 = - 1 - √8; х 2 = 5 - √8, у 2 = - 1 + √8. Эти пары чисел не принадлежат рассматриваемой области.Таким образом, х 1 = - 1, у 1 = 1; х 2 = 1, у 2 = - 1.Ответ: ( - 1; 1); ( 1; - 1).

№ слайда 23 Заключение Математика развивает мышление человека, учит посредством логики наход
Описание слайда:

Заключение Математика развивает мышление человека, учит посредством логики находить разные пути решения. Так, научившись решать симметрические системы, я поняла, что использовать их можно не только для выполнения конкретных примеров, но я для решения разного рода задач.Я думаю, что проект может принести пользу не только мне. Для тех, кто так же захочет ознакомиться с этой темой, моя работа будет являться хорошим помощником.

№ слайда 24 Список используемой литературы: Башмаков М. И., «Алгебра и начала анализа», 2-е
Описание слайда:

Список используемой литературы: Башмаков М. И., «Алгебра и начала анализа», 2-е издание, Москва, «Просвещение», 1992, 350 стр.Рудченко П. А., Яремчук Ф. П., «Алгебра и элементарные функции», справочник; издание третье, переработанное и дополненное; Киев, Наукова, Думка, 1987, 648 стр. Шарыгин И. Ф., « Математика для школьников старших классов», Москва, издательский дом «Дрофа», 1995, 490 стр.Интернет-ресурсы: http://www.college.ru/

Скачать эту презентацию


Презентации по предмету
Презентации из категории
Лучшее на fresher.ru