PPt4Web Хостинг презентаций

Главная / Математика / Правильные многогранники в четырехмерном пространстве
X Код для использования на сайте:

Скопируйте этот код и вставьте его на свой сайт

X

Чтобы скачать данную презентацию, порекомендуйте, пожалуйста, её своим друзьям в любой соц. сети.

После чего скачивание начнётся автоматически!

Кнопки:

Презентация на тему: Правильные многогранники в четырехмерном пространстве


Скачать эту презентацию

Презентация на тему: Правильные многогранники в четырехмерном пространстве


Скачать эту презентацию



№ слайда 1 Научно-исследовательский семинар кафедры высшей математики-1 МИЭТ под руководств
Описание слайда:

Научно-исследовательский семинар кафедры высшей математики-1 МИЭТ под руководствомпроф. Гончарова В.А., проф. Кожухова И.Б. и проф. Поспелова А.С.24 ноября, 2009 г.Правильные многогранники в четырехмерном пространстве «В огромном саду геометрии каждый найдет букет себе по вкусу.» Давид ГильбертСергей Александрович Лавренченко(С. А. Л.)http://lawrencenko.ru

№ слайда 2 Абстрактный Тороидальный Гексадекаэдр — это комбинаторно-топологический объект —
Описание слайда:

Абстрактный Тороидальный Гексадекаэдр — это комбинаторно-топологический объект — правильная триангуляция тора с 8 вершинами и 16 гранями. С. А. Л., Неприводимые триангу- ляции тора, Укр. геометр. сб. 30 (1987) 52–62. ■ АТГ — правильная карта на торе: каждая грань — треугольник и степень каждой вершины равна 6. ■ Ее граф изоморфен 1-скелету гексадекахорона, т.е. полному 4-дольному графу K_{2,2,2,2}.

№ слайда 3 Все ее автоморфизмы найдены при помощи компьютера: С. А. Л., Перечисление в явно
Описание слайда:

Все ее автоморфизмы найдены при помощи компьютера: С. А. Л., Перечисление в явном виде всех автоморфизмов неприводимых триангу- ляций тора и всех укладок на тор помечен ных графов этих триангуляций. Харьков, 1987. – 57 с., Деп. в УкрНИИНТИ 01.10.87, № 2779 – Ук87. α_1 = id (тождественный) α_2 = (35) (47)α_3 = (28) (34) (57)α_4 = (28) (37) (45)α_5 = (12) (47) (68)α_6 = (12) (35) (68)α_7 = (1268) (3457)α_8 = (1268) (3754)α_9 = (13246587)α_10 = (13876524)α_11 = (13) (27) (48) (56) α_12 = (1365) (2784)α_13 = (14) (23) (58) (67)α_14 = (1467) (2385)α_15 = (14256783)α_16 = (14836725)α_17 = (1563) (2487)α_18 = (15) (24) (36) (78) α_19 = (15846327)α_20 = (15276384)α_21 = (16) (34) (57)α_22 = (16) (37) (45)α_23 = (16) (28)α_24 = (16) (28) (35) (47) α_25 = (17856423)α_26 = (17236485)α_27 = (1764) (2583)α_28 = (17) (25) (38) (46)α_29 = (1862) (3457)α_30 = (1862) (3754)α_31 = (18) (26) (47)α_32 = (18) (26) (35)

№ слайда 4 Группу Aut (АТГ) можно определить и без компьютера. Эта группа вершинно- транзит
Описание слайда:

Группу Aut (АТГ) можно определить и без компьютера. Эта группа вершинно- транзитивная, потому что в ней есть единый циклический сдвиг всех вершин: α_20 = (15276384). Подгруппа Shift = <α_20> ≈ Z_8. Она ненормальна.С другой стороны, стабилизатор каждой вершины есть подгруппа изоморфная Z_2 × Z_2, ненормальная. Например, стабилизатор вершины 8, есть подгруппаStab = <α_2, α_22> ≈ Z_2 × Z_2,порожденная 2-мя инволюциями α_2 = (35)(47) и α_22 = (16)(37)(45) (реализуемыми геометрически «симметриями относительно перпендикулярных прямых»). Эта подгруппа ненормальна.

№ слайда 5 Таким образом, группа Aut (АТГ) может быть порождена так:Aut (АТГ) =  = (Z_2 × Z
Описание слайда:

Таким образом, группа Aut (АТГ) может быть порождена так:Aut (АТГ) = <α_2, α_22, α_20> = (Z_2 × Z_2) Z_8, где Z_2 × Z_2 и Z_8 — как указаны на предыдущем слайде, причем произведение на Z_8 не является прямым.Таким образом, |Aut (АТГ)| = |Shift| ∙ |Stab| : |Shift ∩ Stab| = 8 ∙ 4 : 1 = 32.

№ слайда 6 Бипирамидальный Тороидальный Гексадекаэдр (БТГ) — геометрическая модель АТГ С. А
Описание слайда:

Бипирамидальный Тороидальный Гексадекаэдр (БТГ) — геометрическая модель АТГ С. А. Л., Все неприводимые триангуляции тора реализуются в E3 в виде многогран- ников, манускрипт, Мехмат МГУ (1983). Эта работа была выполнена под руко- водством профессора И. Х. Сабитова и заняла 2-е место в конкурсе научных студенческих работ за 1983 год, ежегодно проводимом Мехматом МГУ. Экватор у БТГ

№ слайда 7
Описание слайда:

№ слайда 8 Мы делаем четкое различие между понятиями «автоморфизм» и «симметрия». Далее, те
Описание слайда:

Мы делаем четкое различие между понятиями «автоморфизм» и «симметрия». Далее, термин «симметрия» используется в широком смысле: для обозначения и настоящих симметрий, и вращений пространства. Ни один автоморфизм АТГ, кроме тождественного, не реализуется геометрически, т.е. движениями объемлющего 3-мерного пространства, переводящими БТГ в себя, поэтому Sym (БТГ) = { id }. Все автоморфизмы становятся скрытыми симметриями геометрической модели БТГ.

№ слайда 9 Парадигма Кокстера Парадигма Кокстера «групп и геометрии» — это целостная систем
Описание слайда:

Парадигма Кокстера Парадигма Кокстера «групп и геометрии» — это целостная система взглядов и положений по сближению и соединению алгебры с геометрией. Одно из этих положений состоит в том, что надо реализовывать геометрически не только сам комбинаторный или топологический объект, а также его автоморфизмы в виде геометрических симметрий его геометрической модели в пространстве.■ H.S.M. Coxeter, Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, Cambridge, 2nd edit. 1991. ■ H.S.M. Coxeter and W.O.J. Moser, Generators and Relations for Discrete Groups, Springer, Berlin 1980 (4th edit.)

№ слайда 10 Борьба со скрытыми симметриями — путь претворения в жизнь парадигмы Кокстера. Мн
Описание слайда:

Борьба со скрытыми симметриями — путь претворения в жизнь парадигмы Кокстера. Многогранные реализации групп правильных карт на 2-мерных поверхностях — вклад в развитие этой парадигмы.Старая идея: Чтобы исключить скрытые симметрии, можно использовать модель Пуанкареплоскости Лобачевского. С. А. Л., Plummer M.D., Zha X.: Isoperimetric constants of infinite plane graphs, Discrete & Computational Geometry 28 (3): 313-330 (2002)

№ слайда 11 Борьба со скрытыми симметриями — путь претворения в жизнь парадигмы Кокстера. Но
Описание слайда:

Борьба со скрытыми симметриями — путь претворения в жизнь парадигмы Кокстера. Новая идея: Но что, если настаивать на том, чтобы оставаться в евклидовом пространстве? Это возможно! Но только, если достаточно увеличить размерность этого пространства. (А не пытаться загнать объект в пространство заведомо меньшей размерности, как мы делали выше, строя БТГ.)

№ слайда 12 Тор Клиффорда: (x_1)² + (x_2)² = 1 = (x_3) ² + (x_4)².Для 2-мерного тора более п
Описание слайда:

Тор Клиффорда: (x_1)² + (x_2)² = 1 = (x_3) ² + (x_4)².Для 2-мерного тора более подходит евклидово 4-мерное пространство, чем 3-мерное. Например, АТГ не удается вложить в 3-пространство без скрытых симметрий, а в 4-пространство уже можно. В 3-мерном пространстве тор переходит в себя только вращениями в направлении параллелей, а в 4-мерном пространстве также вращениями в направлении меридианов. http://alem3d.obidos.org/en/torusio/math

№ слайда 13 С. А. Л., Polyhedral suspensions of arbitrary genus, Graphs & Combinatorics, 26
Описание слайда:

С. А. Л., Polyhedral suspensions of arbitrary genus, Graphs & Combinatorics, 26 (2010), в печати.Теорема (С. А. Л.): В евклидовом 4-мерном пространстве существует 2-мерный тороидальный многогранник с 8 вершинами и 16 треугольными гранями, имеющий следующие три свойства правильности. Этот многогранник будет называться правильным тороидальным гексадекаэдром и будет обозначаться ПТГ.  (1) Все грани ПТГ— равносторонние треугольники. (2) ПТГ не имеет скрытых симметрий в том смысле, что группа Aut (АТГ) точно представлена группой Sym (ПТГ) в 4-мерном пространстве.  Группа Sym (ПТГ) действует транзитивно на множестве вершин ПТГ.

№ слайда 14 Доказательство: На рисунке справа — экватор БТГ переложен из 2-пространства в 3-
Описание слайда:

Доказательство: На рисунке справа — экватор БТГ переложен из 2-пространства в 3-пространство в геометрически симметричном виде, как 2-мерный подкомплекс октаэдра. Затем к координатам каждой вершины добавили четвертую координату w = 0, тем самым поместив экватор уже в 4-пространство. Две остающиеся вершины, 1 и 6, располагаются на четвертой координатной оси Ow и имеют координаты (0, 0, 0, 1) и (0, 0, 0, -1), соответственно.

№ слайда 15 АТГ реализовывается как подкомплекс 2-мерного скелета гексадекахорона (или 4-мер
Описание слайда:

АТГ реализовывается как подкомплекс 2-мерного скелета гексадекахорона (или 4-мерного гипероктаэдра)в 4-мерном пространстве. Восемь вершин гексадекахорона: (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1).Все вершины соединены ребрами, кроме противолежащих пар.Значит все грани АТГ геометрически реализуются равносторонними треугольниками со стороной √2. Свойство (1) доказано.Докажем свойство (2), что все 32 автоморфизма триангуляции АТГ реализуются геометрически в 4D модели в виде ПТГ.

№ слайда 16 Вспомним, что Aut (АТГ) порож- дается тремя автоморфизмами: α_2 = (35) (47), α_2
Описание слайда:

Вспомним, что Aut (АТГ) порож- дается тремя автоморфизмами: α_2 = (35) (47), α_22 = (16) (37) (45), α_20 = (15276384) и соответственно представима в 4-пространстве дискретной группой движений, порожденной следующими ортогональными матрицами:A_2 = A_22 = A_20 = ║ 1 0 0 0║║ 1 0 0 0║ ║ 0 0 1 0║ ║ 0 -1 0 0║║ 0 0 -1 0║ ║ 1 0 0 0║ ║ 0 0 -1 0║║ 0 -1 0 0║ ║ 0 0 0 1║ ║ 0 0 0 1║║ 0 0 0 -1║ ║ 0 -1 0 0║

№ слайда 17 Таким образом, получено точное представление группы Aut (АТГ) степени 4. Где —сп
Описание слайда:

Таким образом, получено точное представление группы Aut (АТГ) степени 4. Где —специальная ортогональная группа степени 4,а — полная линейная группа степени 4,И, таким образом, все автоморфизмы реализуются только вращениями 4-мерного пространства. ■

№ слайда 18 Резюмируя, многогранники БТГ и ПТГ — различные геометрические модели абстрактной
Описание слайда:

Резюмируя, многогранники БТГ и ПТГ — различные геометрические модели абстрактной триангуляции тора АТГ. Первый — в трехмерном евклидовом пространстве, а второй — в четырехмерном.В 3D модели БТГ все автоморфизмы, кроме тождественного, являются скрытыми симметриями. Другими словами, индекс подгруппы симметрий в группе автоморфизмов = 32.В 4D модели ПТГ же, наоборот, все до единого автоморфизмы реализуются геометрически, т.е. индекс подгруппы симметрий = 1.

№ слайда 19 Открытые вопросы■ Существуют ли другие правильные 2-мерные многогранники, кроме
Описание слайда:

Открытые вопросы■ Существуют ли другие правильные 2-мерные многогранники, кроме ПТГ, в (евклидовом) пространстве размерности 4 ?■ А в пространствах высших размерностей?■ Существуют ли в 3-мерном пространстве правильные многогранники топологических типов, отличных от сферы? Гипотеза: Нет.

№ слайда 20 Существуют ли другие правильные 2-мерныемногогранники, кроме ПТГ, в пространства
Описание слайда:

Существуют ли другие правильные 2-мерныемногогранники, кроме ПТГ, в пространствах размерностей ≥ 4 ? В частности, реализуется ли правильная триангуляция тора с полным графом K_7 в виде правильного многогранника в евклидовом пространстве высшей размерности?

№ слайда 21 Теорема (Рингель и Янгс):Для каждого целого положительного n такого, что (n–3)(n
Описание слайда:

Теорема (Рингель и Янгс):Для каждого целого положительного n такого, что (n–3)(n–4) делится нацело на 12, полный граф K_n триангулирует ориентируемую поверхность рода (n–3)(n–4)/12. ■Ringel G., Youngs J.W.T., Solution of the Heawood map-colouring problemProc. Nat. Acad. Sci. USA, 60 (1968), 438—445.Отправная лемма (С. А. Л.): Каждая такая триангуляция вкладывается в n-пространство так, что все грани реализуются изометричными равносторонними треугольниками. Доказательство: Вложить K_n в 1-скелет n-мерного гипероктаэдра. Например K_7 в 7-мерный гипероктаэдр. ■

№ слайда 22 Реализуются ли при этом геометрически все автоморфизмы триангуляции?Оказывается,
Описание слайда:

Реализуются ли при этом геометрически все автоморфизмы триангуляции?Оказывается, будет вершинно-транзитивной группа автоморфизмов любой триангуляции тора, в которой степень каждой вершины = 6.Datta B., Upadhyay A.K.: Degree-regular triangulations of torus and Klein bottle, Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.) 115 (2005), 279–307.Однако, это может быть легким следствием из результата Негами:Negami, S.: Uniqueness and faithfulness of embedding of toroidal graphs, Discrete Math. 44 (1983), 161-180.

№ слайда 23 Итак, что же такое правильный многогранник??Что касается 2-мерных многогранников
Описание слайда:

Итак, что же такое правильный многогранник??Что касается 2-мерных многогранников в евклидовом n-мерном пространстве, тот заслуживает звания «правильный», который:■ правильный как абстрактная карта на 2-мерной поверхности, ■ имеет транзитивную (здесь возможны варианты) группу автоморфизмов и■ не имеет скрытых симметрий.

№ слайда 24 Такое определение правильного многогранника предполагает более широкий класс мно
Описание слайда:

Такое определение правильного многогранника предполагает более широкий класс многогранников,чем в классическом смысле. Исторически, когда ограничивались многогранниками в 3-мерном пространстве, нашли пять Платоновых тел. Затем, допустив самопересечения, нашли еще четыре правильных многогранника Кеплера-Пуансо. Как и у Платоновых тел,■ все их грани являются изометричными правильными многоугольниками, и ■ все их вершины идентичны

№ слайда 25 6 марта, 2009 г. Запуск ракеты Дельта II с Кеплером на поиск планет, в некотором
Описание слайда:

6 марта, 2009 г. Запуск ракеты Дельта II с Кеплером на поиск планет, в некотором отношении как наша собственная. Названный в честь немецкого ученого 17-го века Иоганна Кеплера, который открыл законы движения планет, НАСАвский космический аппарат Кеплер использует эти законы для поиска миров подобных Земле вокруг удаленных звезд. Кеплер, ключевая фигура научной революции, думал, что Вселенная состоит из вложенных друг в друга Платоновых тел, вписанные в которых сферы определяют планетарные орбиты в нашей солнечной системе. Вместе, Платоновы тела и многогранники Кеплера-Пуансо образуют множество 9-ти правильных многогранников.

№ слайда 26 Многогранники Кеплера-Пуансо (не типа сферы!) В 1813 г. (или 1812 ??) Коши доказ
Описание слайда:

Многогранники Кеплера-Пуансо (не типа сферы!) В 1813 г. (или 1812 ??) Коши доказал, что кроме пяти Платоновых тел и четырех многогранников Кеплера-Пуансо больше нет правильных многогранников. Может быть Коши подразумевал «в трехмерном пространстве»?A. L. Cauchy, Recherches sur les polyèdres; Premier mèmoire. J. Ècole Polytech. 9 (1813), 68 – 98.

№ слайда 27 Малый звездчатый додекаэдр ■ Многогранник в 3-мерном пространстве с самопересече
Описание слайда:

Малый звездчатый додекаэдр ■ Многогранник в 3-мерном пространстве с самопересечениями. (Сергей Петрович Новиков не признает многогранников с самопересечениями.)■ У него 12 вершин, 30 ребер и 12 граней. (Для сравнения, у додекаэдра 20 вершин, 30 ребер и 12 граней.)

№ слайда 28 Мы же обобщаем по другому направлению: не допуская самопересечений, увеличиваем
Описание слайда:

Мы же обобщаем по другому направлению: не допуская самопересечений, увеличиваем размерность объемлющего пространства. И находим еще один правильный многогранник — правильный тороидальный гексадекаэдр, ПТГ На рисунке слева изображено его сечение экваториальной гиперплоскостью Oxyz (с уравнением w = 0 ). Остается открытым вопрос о более элегантном пред- ставлении ПТГ картинкой.

№ слайда 29 Спасибо за внимание!Вопросы?
Описание слайда:

Спасибо за внимание!Вопросы?

Скачать эту презентацию


Презентации по предмету
Презентации из категории
Лучшее на fresher.ru