Презентация на тему: Некоторые применения теоремы Пифагора

Некоторые применения теоремы Пифагора Автор Янченко Т.Л. Август 12, 2004

Теорема Пифагораи подобие фигур Ниже будем использовать следующие обозначения: катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника ABC соответственно a, b и c ; sin A = a / c, sin B = b / c ; фигуры 1, 2, 3, их длины, площади и их объемы соответственно F1,F2,F3;L1,L2,L3; S1,S2,S3 и V1,V2,V3.

Теорема Пифагора и подобие фигур для n - мерного пространства Будем считать F1 подобной F2 в n - мерном пространстве с коэффициентом подобия к , если есть величины W1 и W2 соответственно такие, что W1/W2=kn.Т1. Если F1 подобна F3, где k=n V¯a2/c2, F2 подобна F3, гдеk= n V¯b2/c2, и W1+W2=W3, то a,b и с - стороны прямоугольного треугольника.Т2. Если F1 подобна F3, где k=n V¯a2/c2, F2 подобна F3, гдеk=n V¯ b2/c2, и а,b и с- стороны прямоугольного треугольника,то W1+W2 = W3.

Теорема 1 и теорема 2для двухмерного пространства Т1. Если F1 подобна F3, где k=a/c=sin A, F2 подобна F3, где k=b/c=sin B, и S1+S2=S3 , то a,b и c- стороны прямоугольного треугольника. Т2. Если F1 подобна F3, где k=a/c=sin A, F2 подобна F3, где k=b/c=sin B, причем a, b и c- стороны прямоугольного треугольника, то S1+S2=S3.

Иллюстрация к теоремам 1 и 2

Доказательство Т 1 Из подобия фигур следует равенство :S1+S2 =S3(a2+b2)/c2 (см.доказательствоТ2). По условию S1+S2=S3 , следовательно(a2+b2)/c2=1 , откуда а2+b2=c2 . Тогда пообратной теореме Пифагора имеем : a, b и cесть стороны прямоугольного треугольника. Теорема доказана.

Доказательство Т2 Из подобия фигур, отношение площадей которых равно квадрату коэффициента подобия, следует : S1= (a2/c2)S3 , S2= (b2/c2)S3. Тогда S1+S2= (a2/c2) S3+ (b2/c2)S3 = =(a2/c2+b2/c2)S3=S3(a2+b2)/c2=S3, так как по теореме Пифагора a2+b2=c2. Итак , имеем S1+S2=S3. Теорема доказана.

Иллюстрация к Т1 и Т2

Теорема 3 и теорема 4для трехмерного пространства Т3. Если F1 подобна F3, где k=3V¯(a/c)2, F2 подобна F3 , где k=3V¯(b/c)2 , и V1+V2=V3 , то a,b и c- стороны прямоугольного треугольника.Т4. Если F1 подобна F3, где k=3V¯(a/c)2, F2 подобна F3 , где k=3V¯(b/c)2, причем a, b и c - стороны прямоугольного треугольника, то верно V1+V2=V3.

Доказательство Т3 и Т4 Отношение объемов подобных фигур равно кубу коэффициента подобия, поэтому V1=(а2/c2)V3 и V2=(b2/c2)V3 , откуда V1+V2=V3(a2+b2)/c2. (1)Т3.По условию V1+V2=V3 ,тогда из равенства(1)следует a2+b2=c2 и то,что a,b и c - cтороныпрямоугольного треугольника.Т4. По условию a,b и c-стороны прямоугольноготреугольника, т.е. a2+b2=c2,тогда из равенства(1) следует, что V1+V2=V3. Теоремы доказаны.

Иллюстрация к теоремам 3 и 4

Иллюстрация к теоремам 3 и 4

Теоремы 5 и 6 для одномерного пространства Т5. Если F1 подобна F3, где к=а2/с2, F2 подобна F3 ,где к=b2/c2, и L1+L2=L3 , то a,b и с - стороныпрямоугольного треугольника .Т6. Если F1 подобна F3, где к=а2/с2, F2 подобна F3 ,где к=b2/c2, и а,b и с - стороны прямоугольноготреугольника , то L1+L2=L3 .

Иллюстрация для одномерного пространства