Презентация на тему: графический способ решения систем уравнения

Николай Егорович Жуковский сказал: «В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии».

Воспитательные: - воспитание коллективизма и ответственности за общую работу; - воспитание взаимопомощи; - воспитание аккуратности (при выполнении построения графиков функций). Развивающие: - формировать умения сравнивать, обобщать изучаемые факты; - развивать у учащихся самостоятельность в мышлении и учебной деятельности; - повысить эмоциональный настрой учащихся путем привлечения наглядности и технических средств обучения (компьютер). Образовательные: - научиться применять полученные знания к построению графиков функций; - сформировать умения решать системы уравнений графическим способом. Цели урока:

Вы, конечно, помните, что графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргументов, а ординаты – соответствующим значениям функции. у = f(х) Вы уже знакомы с некоторыми важными видами функций

Графиком этой функции является прямая

График этой функции называется гиперболой

Дальше

Графиком этой функции является парабола Дальше

Повторение. №1.Какие из данных графиков являются графиками каких-либо функций?

№ 2. Повторение. Линейные функции. y = ах + b Верно!

№ 2. Повторение. Квадратичные функции. Молодцы! у = ах2 + bx +c

№ 2. Повторение. Функции прямой пропорциональности. у = kx Правильно!

№ 2. Повторение. Функции обратной пропорциональности. у = k/x И все!

у = а y = kx y = kx + m y = x2 y = 1/x Прямая, параллельная оси Ох Парабола Гипербола Прямая, проходящая через начало координат Прямая №3. Выберите описание каждой математической модели.

№4. Найдите соответствия:

1. г Каков вид графика функции обратной пропорциональности? и е п а л о б р

1. 2. р г и е п а л о б р Каков вид графика квадратичной функции? п а б а л о а

1. 2. 3. и р г и е п а л о б р 3. Как называется координата точки по оси Ох? п а б а л о а б а с ц с а с

1. 2. 3. 4. и а р г и е п а л о б р 4. Как называется координата точки по оси Оу? п а б а л о а б а с ц с а с р о н и д а т

1. 2. 3. 4. 5. и ф а р г и е п а л о б р 5. Один из способов задания функции. п а б а л о а б а с ц с а с р о н и д а т р о а л у м

1. 2. 3. 4. 5. 6. и ф а р г и е п а л о б р 6. Переменная величина, значение которой зависит от изменения другой величины. п а б а л о а б а с ц с а с р о н и д а т р о а л у м ф у и к н ц я

Итак, начнём…

Графический способ решения системы уравнений с двумя переменными - один из самых простых и наглядных способов. Но этот способ напрямую связан с построением графиков уравнений, входящих в ту или иную систему. Итак… Дальше Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство

Графиком уравнений с двумя переменными может быть: Прямая Парабола Гипербола Окружность … x x

Построим в одной системе координат графики уравнений х2 + у2 = 25 и у = -х2 + 2х + 5 Координаты любой точки окружности являются решением уравнения х2 + у2 = 25, а координаты любой точки параболы являются решением уравнения у = -х2 + 2х + 5. Значит, координаты каждой из точек пересечения окружности и параболы удовлетворяют как первому уравнению системы, так и второму, т.е. являются решением системы. Находим по рисунку значения координат точек пересечения графиков: А(-2,2;-4,5), В(0;5), С(2,2;4,5), D(4;-3). Тогда система имеет 4 решения х1 -2,2, у1 -4,5 х2 0, у2 5 х3 2,2, у3 4,5 х4 4, у4 -3 Второе и четвертое из этих решений – точные, а первое и третье – приближенные.

Давайте сделаем из рассмотренного примера выводы. Помните о двух вещах! Если точек пересечения графиков нет, то система решений не имеет; Координаты точек пересечения определяются приблизительно, поэтому и решения могут получиться приблизительными; Чтобы проверить точность полученных решений, их нужно подставить в уравнения системы! Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными, нужно: Построить в одной системе координат графики уравнений, входящих в систему; Определить координаты всех точек пересечений графиков (если они есть); Координаты этих точек и будут решениями системы.

Тренировочные упражнения. Решить №418 из учебника.

Подготовка к ГИА: - решить систему уравнений графическим способом самостоятельно (из сборника заданий для подготовки к ГИА С.С.Минаева, Т.В.Колесникова)

Проверка. Решить графически систему уравнений -Графиком первого уравнения является окружность с центром в точке (3;2) и радиусом2. -Графиком второго уравнения является прямая проходящая через начало координат -Построим графики для каждого из уравнений.

Ответ: А(1,5;0,7), В(5,1;2,5), 1 1 0 Х У

Тестирование Вам предлагается тест, состоящий из 5 вопросов. Внимательно прочитайте каждый вопрос и варианты ответов к ним. Выберите правильный вариант ответа.

1. С какой прямой график параболы y= – x2+ 4x – 3 не имеет общих точек? о х 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 у -1 -2 -3 -4 -5 -6 у = 0 у = x у = 1 у = –10 7 6 5 4 3 2 1

1 3 2 2. Укажите систему уравнений, которая не имеет решений. 4 ОДНО решение ВЕРНО! ДВА решения ПОДУМАЙ! y=x2-1 y-10=0 x-y=3 x+5=0 Все три указанные системы

3 1 2 3. Укажите систему уравнений, решение которой пара (4;0) 4 Решение (-4; -5)! ВЕРНО! Решение (1; 4)! ПОДУМАЙ! 7х-5у=-8 x-2y=4 x+у=4 Такой системы нет 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

3 1 2 4. На рисунке изображены графики функций у=х2 – 2х–3 и у=1–х Используя графики решите систему уравнений. 4 ВЕРНО! ПОДУМАЙ! ПОДУМАЙ! у=1–х у=х2 – 2х –3 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 (-2; 5), (2; -3) х1=-2 , х2=2; ПОДУМАЙ! Нет решений у1=-3 , у2=5;

3 2 1 5. На рисунке изображены графики функций у= х3 и у=2х+4 Используя графики решите систему уравнений 4 ПОДУМАЙ! ПОДУМАЙ! у=2х+4 у=х3 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 (2; 8) х1=-2 , х2=2; ПОДУМАЙ! Нет решений х = 2 ВЕРНО!

Домашнее задание: П. 18, №421(а), №422(б)

Итог урока: - С каким способом решения систем уравнений с двумя переменными мы познакомились? - В чем заключается его суть? - Дает ли данный способ точные результаты? - В каком случае система не будет иметь решений?

Успехов!!! До новых встреч!

«Ученые, занимавшиеся понятием функция»

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт. Они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание.

Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита - x, y, z, известных - начальными буквами того же алфавита - a, b, c, ... и т.д. Под каждой буквой стало возможным понимать не только конкретные данные, но и многие другие; в математику пришла идея изменения. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.

Само слово «функция» (от латинского functio -совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673г. в письме к Гюйгенсу (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону), слово функция было введено в печать с 1694 года.

Поговорим о русских ученых, внесших вклад в развитие понятия функция. Это Николай Иванович Лобачевский. Заслуги Лобачевского в других областях математики не так велики, как его геометрическое дело. Но его крупный математический талант проявился и в других исследованиях, например, в исследованиях о сходимости строк. Лобачевский опередил своих современников на несколько десятилетий. Учебник алгебры Лобачевского, изданный им в 1834г. под заглавием: "Алгебра или вычисление конечных" - отличается от других учебников алгебры, не только в России, но и за границей, систематичностью расположения, строгостью изложения основных понятий и замечательной полнотой.

Соболев Сергей Львович (род. в 1908г.) Это известный советский математик, академик. Его основные труды были посвящены теории уравнений с частными производными, математической физике, функциональному анализу и вычислительной математике. Им начато систематическое применение функционального анализа в теории уравнений с частными производными. Соболев ввел понятие обобщенного решения уравнения с частными производными и дал первое (1935 г) строгое определение обобщенной функции;

1 задание Решите графически системы уравнений: Проверь Проверь

Полученная система:

Полученная система:

2 задание На чертеже дан график одного из уравнений системы. Дополните чертеж графиком другого уравнения и найдите решение системы: следующее задание система

Полученная система:

В данную систему впишите уравнение линии, изображенной на чертеже. Дополните чертеж графиком, уравнение которого уже записано в системе. Укажите решение системы. Проверь конец 3 задание

Полученная система:

Успехов!!! До новых встреч!