Презентация на тему: Площади фигур

Площадь Учитель математики МОУ лицея №18 И.В.Дымова Презентация уроков по геометрии 8 класс по главе учебника 900igr.net

Работу выполняла ученица 11«4» класса Степанова Аня

Основные свойства площадей.

Первое свойство: Площадь плоской фигуры – неотрицательное число. А С В

Второе свойство: Площади равных фигур равны. А В С А1 С1 В1 SАВС = SА1В1С1

Третье свойство: Если фигура разрезана на несколько частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.

Четвертое свойство: Площадь квадрата со стороной 1 равна 1. А В С D а а SАВСD =a² а=1

Разрезания и складывания Основной принцип метода "разрезания и складывания" основан на том, что если два многоугольника удается разбить на одинаковые части (такие многоугольники называют равносоставленными), то отсюда вытекает, что площади этих многоугольников равны (фигуры, площади которых равны, называются равновеликими). А В С D Е F А1 В1 С1 D1 Е1 F1 SABCDEF=SA1B1C1D1E1F1

Теорема Если два многоугольника равновелики, то один из них можно разрезать на части, из которых можно составить другой многоугольник.

Отношения площадей для того, чтобы установить связь двух площадей, часто бывает удобно сравнивать площади двух треугольников, используя 5 свойство. А С В Н А1 С1 В1 Н1 SABCD=SA1B1C1D1

Площадь многоугольника Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. Равные многоугольники имеют равные площади. А В С D Е F А В С D Е F SABCDEF=SA1B1C1D1E1F1

Площадь квадрата Рассмотрев 4 свойство, докажем, что площадь S квадрата со стороной а равна а². Начнем с того случая, когда а=1/n.Где n-целое число. Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n² равных квадратов. Так как площадь большого квадрата равна 1 То площадь каждого маленького квадрата равна 1/n² 1/n 1

Задача Пусть O – точка пересечения отрезков АС и BD (рис. 4.2). Докажите, что для того, чтобы площади треугольников AOB и COD были равны, необходимо и достаточно, чтобы прямые ВС и AD были параллельны. А В С D O

Решение: Для того, чтобы решить эту задачу, нужно доказать два утверждения: 1. Если прямые ВС и AD параллельны, то площади треугольников АОВ и COD равны; 2. Если площади треугольников АОВ и COD равны, то прямые ВС и AD параллельны. А В С D O SАОВ=SСОD → ВС║АD

Площадь прямоугольника. Теорема: Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Доказательство теоремы: Достроим прямоугольник до квадрата со стороной а+b, площадь этого квадрата равна (а+b)². Рассмотрим прямоугольник со сторонами а, b и площадь S. Докажем, что S=аb. S S S а² а b a b b а а b b a

решение C другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S и двух квадратов с площадями а² и b². Имеем: (a+b)²=S+S+a²+b² От сюда получаем S=ab. Теорема доказана.

Площадь параллелограмма. Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Доказательство: Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью S. Примем сторону AD за основание и проведем высоту ВН и СК. Требуется доказать, что S=AD∙BH А Н D K C B 1 2

Докажем сначала, что площадь прямоугольника НВСК также равна S. Трапеция АВСК составлена из параллелограмма АВСD и треугольника DCK. С другой стороны, она составлена из прямоугольников НВСК и треугольник АВН. Но прямоугольные треугольники DCK и АВН равны по гипотенузе и остр. углу (АВ=СD, углы 1=2),поэтому их площади равны. Следовательно, площади параллелограмма АВСD и прямоугольника НВСК также равны, т. е. площадь прямоугольника НВСК равна S. По теореме о площади прямоугольника S=BC∙BH, а так как ВС=АD, то S=AD∙BH. Теорема доказана.

Площадь треугольника. Теорема: Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. S=½АВ ∙ СН

Доказательство: Пусть S – площадь треугольника АВС. Примем сторону АВ за основание и проведем высоту СН. Докажем, что S=½АВ∙СН Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВDС.Треугольники АВС и DСВ равны по трем сторонам (ВС - их общая сторона, АВ=СD и АС=ВD), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника АВС равны половине площади параллелограмма АВDС, т. Е. S=½АВ∙СН. Теорема доказана. А Н D C B

Следствие 1: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Следствие 2: Если высоты двух треугольников равны ,то их площади относятся как основания. Воспользовавшись этим следствием докажем теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.

Теорема: Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Доказательство: Пусть S и S1 – площади треугольников АВС и А1В1С1 , у которых углы А=А1 . Докажем, что S/S1 = АВ/А1В1∙АС/А1С1 С В А S А1 С1 В1 S1

Наложим треугольники АВС на треугольник А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А, а стороны АВ и АС наложились соответственно на лучи АВ и АС. Треугольники АВС АВ1С имеют общую высоту СН, поэтому S/SАВ1С = АВ/АВ1. Треугольники АВ1С АВ1С1 также имеют общую высоту – В1Н1 , поэтому SАВС /SАВС =АС/АС1 .Перемножаем полученные равенства. Теорема доказана. С А(А1) Н В1 В Н1 С1

Площадь трапеции. Для вычисления площади произвольного многоугольника обычно поступают так: разбивают многоугольник на треугольники и находят площадь каждого треугольника. Сумма площадей этих треугольников равна площади данного многоугольника. S3 S2 S1 S=S1+S2+S3

Теорема: Площадь трапеции равна произведению полу-суммы ее оснований на высоту.

Доказательство: Рассмотрим трапецию АВСD с основанием AD и ВС, высотой ВН и площадью S. Докажем, что S=½(AD+ВС)∙ВН. Диагональ ВD разделяет трапецию на два треугольника АВD DCВ, поэтому S=SABD+SBCD. Примем отрезки AD и ВН за основание и высоту треугольника АВD, а отрезки ВС и DН1 за основания и высоту треугольника ВСD. Тогда SABD=½AD∙BH, SBCD=½ВС∙DH1 . Так как DH1=BH, то SBCD=½AD∙BH. Таким образом, S=½AD∙ВН+½ВС∙ВН=½(АD+ВС)∙ВН. Теорема доказана. С А В D Н1 Н