Презентация на тему: Площади фигур

Площадь плоской фигуры – неотрицательное число. Площадь плоской фигуры – неотрицательное число.

Площади равных фигур равны. Площади равных фигур равны.

Если фигура разрезана на несколько частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей. Если фигура разрезана на несколько частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.

Площадь квадрата со стороной 1 равна 1. Площадь квадрата со стороной 1 равна 1.

Основной принцип метода "разрезания и складывания" основан на том, что если два многоугольника удается разбить на одинаковые части (такие многоугольники называют равносоставленными), то отсюда вытекает, что площади этих многоугольников равны (фигуры, площади которых равны, называются равновеликими). Основной принцип метода "разрезания и складывания" основан на том, что если два многоугольника удается разбить на одинаковые части (такие многоугольники называют равносоставленными), то отсюда вытекает, что площади этих многоугольников равны (фигуры, площади которых равны, называются равновеликими).

Если два многоугольника равновелики, то один из них можно разрезать на части, из которых можно составить другой многоугольник. Если два многоугольника равновелики, то один из них можно разрезать на части, из которых можно составить другой многоугольник.

для того, чтобы установить связь двух площадей, часто бывает удобно сравнивать площади двух треугольников, используя 5 свойство. для того, чтобы установить связь двух площадей, часто бывает удобно сравнивать площади двух треугольников, используя 5 свойство.

Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. Равные многоугольники имеют равные площади.

Рассмотрев 4 свойство, докажем, что площадь S квадрата со стороной а равна а². Рассмотрев 4 свойство, докажем, что площадь S квадрата со стороной а равна а². Начнем с того случая, когда а=1/n.Где n-целое число. Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n² равных квадратов. Так как площадь большого квадрата равна 1 То площадь каждого маленького квадрата равна 1/n²

Пусть O – точка пересечения отрезков АС и BD (рис. 4.2). Докажите, что для того, чтобы площади треугольников AOB и COD были равны, необходимо и достаточно, чтобы прямые ВС и AD были параллельны. Пусть O – точка пересечения отрезков АС и BD (рис. 4.2). Докажите, что для того, чтобы площади треугольников AOB и COD были равны, необходимо и достаточно, чтобы прямые ВС и AD были параллельны.

Для того, чтобы решить эту задачу, нужно доказать два утверждения: Для того, чтобы решить эту задачу, нужно доказать два утверждения: 1. Если прямые ВС и AD параллельны, то площади треугольников АОВ и COD равны; 2. Если площади треугольников АОВ и COD равны, то прямые ВС и AD параллельны.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Достроим прямоугольник до квадрата со стороной а+b, площадь этого квадрата равна (а+b)². Достроим прямоугольник до квадрата со стороной а+b, площадь этого квадрата равна (а+b)². Рассмотрим прямоугольник со сторонами а, b и площадь S. Докажем, что S=аb.

C другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S и двух квадратов с площадями а² и b². Имеем: (a+b)²=S+S+a²+b² C другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S и двух квадратов с площадями а² и b². Имеем: (a+b)²=S+S+a²+b² От сюда получаем S=ab. Теорема доказана.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью S. Примем сторону AD за основание и проведем высоту ВН и СК. Требуется доказать, что Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью S. Примем сторону AD за основание и проведем высоту ВН и СК. Требуется доказать, что S=AD∙BH

Докажем сначала, что площадь прямоугольника НВСК также равна S. Трапеция АВСК составлена из параллелограмма АВСD и треугольника DCK. С другой стороны, она составлена из прямоугольников НВСК и треугольник АВН. Но прямоугольные треугольники DCK и АВН равны по гипотенузе и остр. углу (АВ=СD, углы 1=2),поэтому их площади равны. Следовательно, площади параллелограмма АВСD и прямоугольника НВСК также равны, т. е. площадь прямоугольника НВСК равна S. По теореме о площади прямоугольника S=BC∙BH, а так как ВС=АD, то S=AD∙BH. Теорема доказана. Докажем сначала, что площадь прямоугольника НВСК также равна S. Трапеция АВСК составлена из параллелограмма АВСD и треугольника DCK. С другой стороны, она составлена из прямоугольников НВСК и треугольник АВН. Но прямоугольные треугольники DCK и АВН равны по гипотенузе и остр. углу (АВ=СD, углы 1=2),поэтому их площади равны. Следовательно, площади параллелограмма АВСD и прямоугольника НВСК также равны, т. е. площадь прямоугольника НВСК равна S. По теореме о площади прямоугольника S=BC∙BH, а так как ВС=АD, то S=AD∙BH. Теорема доказана.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Пусть S – площадь треугольника АВС. Примем сторону АВ за основание и проведем высоту СН. Докажем, что Пусть S – площадь треугольника АВС. Примем сторону АВ за основание и проведем высоту СН. Докажем, что S=½АВ∙СН Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВDС.Треугольники АВС и DСВ равны по трем сторонам (ВС - их общая сторона, АВ=СD и АС=ВD), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника АВС равны половине площади параллелограмма АВDС, т. Е. S=½АВ∙СН. Теорема доказана.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Если высоты двух треугольников равны ,то их площади относятся как основания. Если высоты двух треугольников равны ,то их площади относятся как основания. Воспользовавшись этим следствием докажем теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Пусть S и S1 – площади треугольников АВС и А1В1С1 , у которых углы А=А1 . Пусть S и S1 – площади треугольников АВС и А1В1С1 , у которых углы А=А1 . Докажем, что S/S1 = АВ/А1В1∙АС/А1С1

Наложим треугольники АВС на треугольник А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А, а стороны АВ и АС наложились соответственно на лучи АВ и АС. Треугольники АВС АВ1С имеют общую высоту СН, поэтому S/SАВ1С = АВ/АВ1. Треугольники АВ1С АВ1С1 также имеют общую высоту – В1Н1 , поэтому SАВС /SАВС =АС/АС1 .Перемножаем полученные равенства. Теорема доказана. Наложим треугольники АВС на треугольник А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А, а стороны АВ и АС наложились соответственно на лучи АВ и АС. Треугольники АВС АВ1С имеют общую высоту СН, поэтому S/SАВ1С = АВ/АВ1. Треугольники АВ1С АВ1С1 также имеют общую высоту – В1Н1 , поэтому SАВС /SАВС =АС/АС1 .Перемножаем полученные равенства. Теорема доказана.

Для вычисления площади произвольного многоугольника обычно поступают так: разбивают многоугольник на треугольники и находят площадь каждого треугольника. Сумма площадей этих треугольников равна площади данного многоугольника. Для вычисления площади произвольного многоугольника обычно поступают так: разбивают многоугольник на треугольники и находят площадь каждого треугольника. Сумма площадей этих треугольников равна площади данного многоугольника.

Площадь трапеции равна произведению полу-суммы ее оснований на высоту. Площадь трапеции равна произведению полу-суммы ее оснований на высоту.

Рассмотрим трапецию АВСD с основанием AD и ВС, высотой ВН и площадью S. Докажем, что S=½(AD+ВС)∙ВН. Рассмотрим трапецию АВСD с основанием AD и ВС, высотой ВН и площадью S. Докажем, что S=½(AD+ВС)∙ВН. Диагональ ВD разделяет трапецию на два треугольника АВD DCВ, поэтому S=SABD+SBCD. Примем отрезки AD и ВН за основание и высоту треугольника АВD, а отрезки ВС и DН1 за основания и высоту треугольника ВСD. Тогда SABD=½AD∙BH, SBCD=½ВС∙DH1 . Так как DH1=BH, то SBCD=½AD∙BH. Таким образом, S=½AD∙ВН+½ВС∙ВН=½(АD+ВС)∙ВН. Теорема доказана.