Презентация на тему: Описанная окружность
Описанная окружность
Определение: окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на этой окружности. На каком рисунке окружность описана около треугольника: Если окружность описана около треугольника, то треугольник вписан в окружность.
Теорема. Около треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Её центр – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Дано: АВСДоказать: существует Окр.(О; r), описанная около АВС. По свойству серединных перпендикуляров к сторонам треугольника(замечательная точка треугольника):они пересекаются в одной точке – О, для которой ОА = ОВ = ОС. Т. е. все вершины треугольника равноудалены от точки О, значит,они лежат на окружности с центром О. Значит, окружность описана около треугольника АВС.
Если окружность описана около прямоугольного треугольника, то её центр – середина гипотенузы. Задача: найти радиус окружности, описанной около прямоугольноготреугольника, катеты которого равны 3 см и 4 см. Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника,лежит вне треугольника.
Формулы для радиуса описанной около треугольника окружностиЗадача: найти радиус окружности, описанной околоравностороннего треугольника, сторона которого равна 4 см.
Задача: в окружность, радиус которой 10 см, вписан равнобедренный треугольник. Высота, проведённая к его основанию равна 16 см. Найти боковую сторону и площадь треугольника. Дано: АВС- р/б, ВН АС, ВН = 16 см Окр.(О; 10 см) описана около АВС Т. к. окружность описана околоравнобедренного треугольника АВС, то центрокружности лежит на высоте ВН. АО = ВО = СО = 10 см, ОН = ВН – ВО = = 16 – 10 = 6 (см) АОН – прямоугольный, АО2 = АН2 + АН2, АН2 = 102 – 62 = 64, АН = 8 см АВН – прямоугольный, АВ2 = АН2 + ВН2 = 82 + 162 = 64 + 256= 320,АВ = АС = 2АН = 2 · 8 = 16 (см), SАВС = ½ АС · ВН = ½ · 16 · 16 = 128 (см2) Ответ: АВ =
Определение: окружность называется описанной около четырёхугольника, если все вершины четырёхугольника лежат на окружности. Теорема. Если около четырёхугольника описана окружность, то сумма его противоположных углов равна 1800. Дано: Окр.(О;R) описана около АВСD Доказательство: Т. к. окружность описана около АВСD, то А, В, С, D – вписанные, значит, А + C = ½ BCD + ½ BAD = ½ ( BCD + BAD) = ½ · 3600 = 1800 B+ D = ½ ADC + ½ ABC = ½ ( ADC+ ABC) = ½ · 3600 = 1800 A + C = B + D = 1800 Другая формулировка теоремы: во вписанном в окружностьчетырёхугольнике сумма противоположных углов равна 1800.
Обратная теорема: если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 1800, то около него можно описать окружность. Дано: АВСD, A + C = 1800 Окр.(О;R) описана около АВСD Доказательство: № 729 (учебник) Вокруг какого четырёхугольника нельзя описать окружность?
Следствие 1: около любого прямоугольника можно описать окружность, её центр – точка пересечения диагоналей. Следствие 2: около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
Найти углы четырёхугольника РКЕН:
