Презентация на тему: Четыре замечательные точки треугольника

Четыре замечательные точки треугольника

Свойство биссектрисы неразвёрнутого угла Теорема1. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. Теорема 2 ( обратная).Точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла. Обобщённая теорема: биссектриса неразвёрнутого угла – множество точек плоскости, равноудалённых от сторон этого угла. Дано: ВАС, АХ – биссектриса, М є АХ, МЕ АВ, МК АС

Серединный перпендикуляр к отрезку Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов. Дано: АВ – отрезок, РК – серединный перпендикуляр,М є РК Теорема 2. Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. Обобщённая теорема: серединный перпендикуляр к отрезку – множество точек плоскости, равноудалённых от его концов.

Первая замечательная точка треугольника Теорема. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Дано: АВС, АЕ, ВТ – биссектрисы, О - точка их пересечения Доказать: СУ – биссектриса АВС, О є СУ АЕ – биссектриса и ОМ АВ, ОК АС,значит, ОМ = ОК ВТ – биссектриса, и ОМ АВ, ОР ВС, значит, ОМ = ОP Значит, ОМ = ОК = ОР и ОР ВС, ОК АС, следовательно, О лежит на биссектрисе угла АСВ, т. е. СУ – биссектриса АВС. Значит, О – точка пересечения трёх биссектрис треугольника.

Вторая замечательная точка треугольника Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Дано: АВС, k,n – серединные перпендикуляры к сторонам треугольника, О – точка их пересечения Доказать: р – серединный перпендикуляр к ВС, О є р k – серединный перпендикуляр к АВ и О є k, значит, ОА = ОВ. Следовательно, ОА = ОВ =ОС, значит, О лежит на серединном перпендикуляре к стороне ВС, т. е. на р.

Вторая замечательная точка треугольника (продолжение) Ещё возможное расположение:

Третья замечательная точка треугольника Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую в отношении 2: 1, считая от вершины. (центр тяжести треугольника – центроид) Дано: АВС, AM,ВК,СР - медианы Доказать: АМ ВК СР = О Доказательство проведено ранее: задача 1 п. 62.

Четвёртая замечательная точка треугольника Теорема. Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке(ортоцентр). Доказать: О – точка пересечения высот или их продолжений.

Доказательство: Через вершины В, А, С треугольника АВС проведём ЕТ АС, ЕУ ВС, ТУ АВ. Получим: АСВЕ – параллелограмм, значит, АС = ВЕ АСТВ – параллелограмм, значит, АС = ВТ Следовательно, ВЕ = ВТ, т. е. В – середина ЕТ. Т.к. ВН – высота АВС по условию, то ВН АС Получим: ВН – серединный перпендикуляр к ЕТ. Аналогично, СМ – серединный перпендикуляр к ТУи АК - серединный перпендикуляр к УЕ. Т. е. ВН, СМ, АК – серединные перпендикуляры к сторонам ЕТУ, которые по ранее доказанному пересекаются в одной точке,значит, высоты АВС пересекаются в одной точке.

Дано: АВС, АМ = ВМ, МD AB, AK = KC, DK AC, D є BC. Доказать: D - середина ВС, А = В + С. D є BC по условию, значит, ВD = AD AK = KC, DK AC, D є BC по условию, значит, AD = DC следовательно, D – середина ВС. б) По доказанному AD = DC, значит, треугольники АВD и АСD – равнобедренные, поэтому 1 = В, 2 = С. ВАС = 1 + 2 = В + С, что и т. д.