Презентация на тему: Объем фигур в пространстве

ОБЪЕМ ФИГУР В ПРОСТРАНСТВЕОбъем – величина, аналогичная площади и сопоставляющая фигурам в пространстве неотрицательные действительные числа. За единицу объема принимается куб, ребро которого равно единице измерения длины. Для объемов пространственных фигур справедливы свойства, аналогичные свойствам площадей плоских фигур, а именно:1. Объем фигуры в пространстве является неотрицательным числом.2. Равные фигуры имеют равные объемы.3. Если фигура Ф составлена из двух неперекрывающихся фигур Ф1 и Ф2, то объем фигуры Ф равен сумме объемов фигур Ф1 и Ф2, т.е.V(Ф)=V(Ф1)+V(Ф2).Две фигуры, имеющие равные объемы, называются равновеликими.

Обобщенный цилиндрПусть α и π - две параллельные плоскости, l - пересекающая эти плоскости прямая; F – фигура на одной из этих плоскостей, F’ – ее параллельная проекция на другую плоскость в направлении прямой l. Отрезки, соединяющие точки фигуры F с их проекциями, образуют фигуру в пространстве, которую мы будем называть обобщенным цилиндром. Фигуры F и F’ называются основаниями обобщенного цилиндра. Расстояние между плоскостями оснований называют высотой обобщенного цилиндра. В случае, если в определении обобщенного цилиндра вместо параллельной проекции берется ортогональная, т. е. прямая l перпендикулярна плоскостям α и π, то обобщенный цилиндр называется прямым. В противном случае цилиндр называется наклонным.Частным случаем обобщенного цилиндра являются цилиндр и призма.

Объем обобщенного цилиндраТеорема. Объем прямого обобщенного цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.Следствие 1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений, т. е. имеет место формулаСледствие 2. Объем прямой призмы равен произведению площади ее основания на высоту, т. е. имеет место формула Следствие 3. Объем прямого кругового цилиндра, высота которого равна h и радиус основания R, вычисляется по формуле

Упражнение 1Может ли объем фигуры в пространстве быть: а) отрицательным числом; б) нулем?

Упражнение 2Диагональ куба равна 2 см. Найдите его объем.

Упражнение 3Чему равен объем пространственного креста, если ребра образующих его кубов равны единице?

Упражнение 4Чему равен объем фигуры, изображенной на рисунке?

Упражнение 5Дан куб с ребром 3 см. В каждой грани проделано сквозное квадратное отверстие со стороной 1 см. Найдите объем оставшейся части.

Упражнение 6Как относятся объемы двух кубов: данного и его модели, уменьшенной в масштабе: а) 1 : 2; б) 1 : 3; в) 1 : n?

Упражнение 7Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см3. Определите ребро куба.

Упражнение 8В прямом параллелепипеде стороны основания равны 8 см и 5 см и образуют угол в 60°. Меньшая диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол в 30°. Определите объем этого параллелепипеда.

Упражнение 9Как изменится объем прямого параллелепипеда, если: а) одно из его измерений увеличить в 2 раза, в 3 раза, в n раз; б) если два его измерения увеличить, причем каждое из них в 2, 3, n раз; в) если все три его измерения увеличить в 2, 3, n раз?

Упражнение 10Осевое сечение прямого кругового цилиндра - квадрат со стороной 1 см. Найдите объем цилиндра.

Упражнение 11Одна кружка вдвое выше другой, зато другая в полтора раза шире. Какая кружка вместительнее?

Упражнение 12Диагональ осевого сечения цилиндра равна d и наклонена к плоскости основания под углом φ. Найдите объем цилиндра.

Упражнение 13Найдите объем фигуры, которая получается при вращении квадрата вокруг его стороны, равной a.

Упражнение 14Два цилиндра образованы вращением одного и того же прямоугольника около каждой из неравных его сторон a и b. Как относятся объемы цилиндров?

Упражнение 15Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите объем данной призмы.

Упражнение 16Найдите объем правильной четырехугольной призмы, сторона основания которой 5 см и высота 8 см.

Упражнение 17Найдите высоту правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания 20 см и объем 4800 см3.

Упражнение 18Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. В каком отношении эта плоскость делит объем призмы?

Упражнение 19Основание прямой призмы - ромб, площадь которого равна 1 м2. Площади диагональных сечений равны 3 м2 и 6 м2. Найдите объем призмы.

Упражнение 20Найдите формулу объема правильной n-угольной призмы, высота которой равна h, а сторона основания равна a.

Упражнение 21Объем правильной шестиугольной призмы равен V. Определите объем призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы.

Упражнение 22Во сколько раз объем цилиндра, описанного около правильной четырехугольной призмы, больше объема цилиндра, вписанного в эту же призму?

Упражнение 23В цилиндрический сосуд, диаметр которого равен 9 см, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 12 см. Чему равен объем детали?

Упражнение 24Через точку окружности основания прямого кругового цилиндра проведена плоскость под углом φ к этому основанию. Радиус основания цилиндра равен R. Найдите объем части цилиндра, отсекаемой плоскостью.

Упражнение 25Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, в основании которой квадрат со стороной 1, а высота равна 0,5.