Презентация на тему: Квадратное уравнение

Оглавление Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения.Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Решение задач с помощью квадратных уравнений. Задания для самостоятельной работы.

Квадратным уравнением называется уравнение ax²+bx+c=0, где a, b, c – заданные числа, a≠0, x -неизвестное.Коэффициенты a, b, c квадратного уравнения обычно называют так: a – первым или старшим коэффициентом, b – вторым коэффициентом, c – свободным членом.Например, в уравнении 3х²-х+2=0 старший (первый) коэффициент а=3, второй коэффициент b=-1, а свободный член c=2.Решение многих задач математики, физики, техники сводится к решению квадратных уравнений: 2x²+x-1=0, x²-25=0, 4x²=0, 5t²-10t+3=0.При решении многих задач получаются уравнения, которые с помощью алгебраических преобразований сводятся к квадратным. Например, уравнение 2x²+3x=x²+2x+2 после перенесения всех его членов в левую часть и приведения подобных членов сводится к квадратному уравнению x²+x-2=0.

Рассмотрим уравнение общего вида: ax²+bx+c=0, где a≠0.Корни уравнения находят по формуле: Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения. Если D<0, то уравнение не имеет действительных корней; если D=0, то уравнение имеет один действительный корень; если D>0, то уравнение имеет два действительных корня.В случае, когда D=0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Неполные квадратные уравнения. Если в квадратном уравнении ax²+bx+c=0 второй коэффициент b или свободный член c равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Неполное квадратное уравнение может иметь один из следующих видов:Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

Квадратное уравнение вида x2+px+q=0 называется приведенным. В этом уравнении старший коэффициент равен единице: a=1.Корни приведенного квадратного уравнения находятся по формуле:Этой формулой удобно пользоваться, когда p – четное число.Пример: Решить уравнение x2-14x-15=0. По формуле находим:

Теорема Виета.   Если приведенное квадратное уравнение x2+px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть x1+x2=-p, x1 x2 = q (сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену). Исследование связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

Утверждение №1:Пусть х1 и х2 – корни уравнения х2+pх+q=0.Тогда числа х1, х2 , p, q связаны равенствами: x1 +х2 = - p, х1 х2 =qУтверждение № 2:Пусть числа х1, х2, p, q связаны равенствами х1+х2 = - p, х1 х2 =q.Тогда х1 и х2 – корни уравнения х2+pх+q=0Следствие: х2+pх+q=(х-х1 )(х-х2).Ситуации, в которых может использоваться теорема Виета.Проверка правильности найденных корней.Определение знаков корней квадратного уравнения.Устное нахождение целых корней приведенного квадратного уравнения.Составление квадратных уравнений с заданными корнями.Разложение квадратного трехчлена на множители.

Биквадратные уравнения  Биквадратным называется уравнение вида , где a≠0. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив , получим квадратное уравнение Пример: Решить уравнение x4+4x2-21=0  Положив x2=t, получим квадратное уравнение t2+4t -21=0, откуда находим t1= -7, t2=3. Теперь задача сводится к решению уравнений x2= -7, x2=3. Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим: которые являются корнями заданного биквадратного уравнения.

Решение задач с помощью квадратных уравнений Задача 1:Автобус отправился от автовокзала в аэропорт, находящийся на расстоянии 40 км. Через 10 минут вслед за автобусом выехал пассажир на такси. Скорость такси на 20 км/ч больше скорости автобуса. Найти скорость такси и автобуса, если в аэропорт они прибыли одновременно.Составим и решим уравнение:

Умножим обе части уравнения на 6x(x+20), получим: При этих значениях x знаменатели дробей, входящих в уравнение, не равны 0, поэтому являются корнями уравнения. Так как скорость автобуса положительна, то условию задачи удовлетворяет только один корень: x=60. Поэтому скорость такси 80 км/ч. Ответ: Скорость автобуса 60 км/ч, скорость такси 80 км/ч.

Задача 2:На перепечатку рукописи первая машинистка тратит на 3 ч меньше, чем вторая. Работая одновременно, они закончили перепечатку всей рукописи за 6ч 40 мин. Сколько времени потребовалось бы каждой из них на перепечатку всей рукописи?Составим и решим уравнение:

Это уравнение можно записать следующим образом:Умножая обе части уравнения на 20x(x+3), получаем:Корни этого уравнения:При этих значениях x знаменатели дробей, входящих в уравнение, не равны 0, поэтому - корни уравнения. Так как время положительно, то x=12ч. СледовательноПервая машинистка затрачивает на работу 12 ч, вторая – 12 ч + 3 ч = 15 чОтвет:12 ч и 15 ч.

Задания для самостоятельной работы:7.Найти два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 210.

Желаем удачи!!!

Франсуа Виет Франсуа Виет родился в 1540 году во Франции. Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1563 году он оставляет юриспруденцию и становится учителем в знатной семье. Именно преподавание побудило в молодом юристе интерес к математике. Виет переезжает в Париж, где легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. С 1571 года Виет занимает важные государственные посты, но в 1584 году он был отстранен и выслан из Парижа. Теперь он имел возможность всерьез заняться математикой. В 1591 году он издает трактат «Введение в аналитическое искусство», где показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, применимый к любым соответствующим величинам. Знаменитая теорема была обнародована в том же году. Громкую славу получил при Генрихе lll во время Франко-Испанской войны. В течение двух недель, просидев за работой дни и ночи, он нашел ключ к Испанскому шифру. Умер в Париже в 1603 году, есть подозрения, что он был убит.