Презентация на тему: Теория бесконечных множеств

ГЛАВА II ТЕОРИЯ БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ ГЛАВА II ТЕОРИЯ БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ §1. Счетные множества. Примеры. Минимальность счетной мощности Определение 1. Множества А и В называются равномощными (обозначим: ), если существует биекция : А В.

Теорема 2. Отношение равномощности есть отношение эквивалентности. Теорема 2. Отношение равномощности есть отношение эквивалентности. Доказательство. Необходимо проверить три условия: рефлексивность, симметричность, транзитивность.

Рефлексивность выполняется, так как отображение Рефлексивность выполняется, так как отображение IA: A A осуществляет биекцию множества А на себя, то есть . Симметричность. Пусть , то есть существует биекция , тогда существует отображение , которое также является биекцией, то есть

Транзитивность. Пусть , , Транзитивность. Пусть , , то есть существуют биекции и Тогда является биекцией, причем , то есть . Транзитивность, а вместе с ней и теорема доказаны.

Примеры.1)       Докажем, что Примеры.1)       Докажем, что то есть докажем, что любые два интервала равномощны, то есть, грубо говоря, состоят из одного и того же количества точек, независимо от их длины. Рассмотрим функцию y(0) = a, y(1) = b. Так как эта функция линейна и отлична от константы, то биективно отображает (0;1) на (a, b). Заметим, что по теореме 2 для любых открытых промежутков

2)       , то есть прямая равномощна открытой полупрямой. В самом деле, отображение, определяемое функцией 2)       , то есть прямая равномощна открытой полупрямой. В самом деле, отображение, определяемое функцией есть не что иное, как биекция между R и .

Определение 3. Определение 3. Множество А называется счетным, если оно равномощно множеству натуральных чисел, то есть = . Другими словами, множество А счетно, если его элементы можно занумеровать натуральными числами, то есть представить в виде: А=

Теорема 4. Любое подмножество счетного множества или конечно или счетно (т.е. не может содержать никаких других бесконечностей). Теорема 4. Любое подмножество счетного множества или конечно или счетно (т.е. не может содержать никаких других бесконечностей).

Доказательство. Доказательство. Пусть А – счетное множество и В А. Перенумеруем все элементы множества А: "Передвигаясь" в перечне элементов множества А от с меньшими номерами к элементам с большими номерами, будем выбирать из этого списка элементы подмножества В:

Если какой-то элемент окажется последним в списке В, то В является конечным множеством, состоящим из к элементов: Если какой-то элемент окажется последним в списке В, то В является конечным множеством, состоящим из к элементов: Если же для каждого элемента из В в списке А всегда найдется следующий элемент то мы получаем список (множество) который занумерован числами 1,2,3,…,k,….

Если переобозначить Если переобозначить то Теорема доказана.