Презентация на тему: Ряд Фурье

Презентация на тему: «Ряды Фурье»

Содержание: История происхождения рядов Фурье. Определение ряда. Тригонометрический ряд. Теорема Дирихле. Ряды Фурье и их применение в электротехнике Примеры решения задач с помощью рядов Фурье.

Жан Батист Жозеф Фурье Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830) — французский математик и физик, иностранный почетный член Петербургской академии наук. Писал труды по алгебре, дифференциальным уравнениям и математической физике. Его «Аналитическая теория тепла» явилась основой в создании теории тригонометрических рядов то есть рядов Фурье.

Ряд Фурье — способ представления произвольной сложной функции суммой более простых. В общем случае количество таких функций может быть бесконечным, при этом чем больше таких функций учитывается при расчете, тем выше оказывается конечная точность представления исходной функции. В большинстве случаев в качестве простейших используются тригонометрические функции синуса и косинуса, в этом случае ряд Фурье называется тригонометрическим, а вычисление такого ряда часто называют разложением на гармоники. Ряд Фурье — способ представления произвольной сложной функции суммой более простых. В общем случае количество таких функций может быть бесконечным, при этом чем больше таких функций учитывается при расчете, тем выше оказывается конечная точность представления исходной функции. В большинстве случаев в качестве простейших используются тригонометрические функции синуса и косинуса, в этом случае ряд Фурье называется тригонометрическим, а вычисление такого ряда часто называют разложением на гармоники.

Тригонометрический ряд Фурье

Если обозначить SN (f,x) частичные суммы ряда Фурье f(x) . Если обозначить SN (f,x) частичные суммы ряда Фурье f(x) .  сходимость последовательности функций   SN (f,x) к функции  f(x)  в различных смыслах. Функция f предполагается  2 π - периодической (если она задана только на промежутке , её можно периодически продолжить).Если f є (-  π,  π), то последовательность SN (f,x)  сходится к функции.

ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ Определение 1. Функция f (x) называется кусочно-непрерывной на [a;b], если она непрерывна на этом промежутке или имеет на нем конечное число разрывов I рода. Определение 2. Функция f (x) называется кусочно-непрерывной на [a;b], если она монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна (т.е. функция на [a;b] имеет конечное число экстремумов). Определение 3. Говорят, что f (x) удовлетворяет условиям Дирихле на [a;b], если f (x) на [a;b] является кусочно-непрерывной и кусочно- монотонной.

В результате получаем, что ряд Фурье для заданной функции имеет вид

Ответ:

РЯДЫ  ФУРЬЕ  И  ИХ  ПРАКТИЧЕСКОЕ  ПРИМЕНЕНИЕ  В  ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ Расмотрим ряд  Фурье  по  ортогональной  системе  функций .  Пусть  функция    f(x) непрерывна  на отрезке (а,в) или  имеет  на  этом  отрезке  конечное  число  точек  разрыва  первого  рода.  Рядом  Фурье  такой  функции  f(x) на  отрезке  (а,в) по  ортогональной  системе  

Вид ряда Фурье в ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

Пример2. Вычислить  суммарный  ток  в  схеме  на  рис.  1. 

Решение: Сопротивление  постоянному  току  

Комплексная амплитуда тока третьей гармоники: Таким  образом,  искомое  значение  суммарного  тока  будет  иметь  вид: