Презентация на тему: Применение вероятностных методов

Применение вероятностных методов в технике Выполнила: студентка гр.СО-11 Третьяк Юлия

Применение теории вероятности

Повторение Что такое вероятность? «Вероятность – возможность исполнения, осуществимости чего-нибудь». Какое определение дает основатель современной теории вероятностей А.Н.Колмогоров? «Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях».

Вероятность Вероятность-это численная характеристика, которая показывает , насколько велика степень объективной возможности события. P (A) =m/n Вероятность события А есть число W(A), равное отношению числа m элементарных исходов. .

Задачи! 1.Проверено 100 деталей. Среди них оказалось 80 стандартных. Какова относительная частота появления стандартной детали?

Решение Пусть событие А – при проверке деталь оказалась стандартной. По определению относительная частота появления этого события W(A) = 80 = 0,8 100 Ответ: 0,8.

Задача 2 Если абонент ждет телефонного вызова с 2 до 3 часов, то какова вероятность того, что этот вызов пройдет с 2ч 30мин до 2ч 40мин.?

Решение Пусть событие D – вызов произошел в течение 10мин после половины третьего. Изобразим все исходы испытания в виде отрезка ОА на прямой Ох: Событие D произойдет, если точка (вызов) окажется на отрезке СВ. Следовательно, Р(D) = СВ = 1 . ОА 6 Ответ: 1/6

Задача 3 Вероятность того, что студент сдаст экзамен на отлично, равна 0,2; на хорошо – 0,4; на удовлетворительно – 0,3; на неудовлетворительно – 0,1. Определить вероятность того, что студент сдаст экзамен.

Задача 4 Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра

Решение Пусть В – событие, состоящее в том, что набрана нужная цифра. Диск телефонного аппарата содержит 10 цифр, следовательно, общее число возможных случаев n = 10. Эти случаи несовместимы, единственно возможны и равновозможные. Событию В благоприятствует только один случай. Следовательно, искомая вероятность Р(В) = 1 = 0,1. 10 Ответ: 0,1.

Классическое определение вероятности Если вероятность определяется на алгебре событий, то третья аксиома заменяется на следующее условие: P (A + B) = P (A) + P (B) для любых несовместных A и B. Теорема сложения вероятностей: P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) - для любых A и B

Задача 5 В коробке 250 лампочек, из них 100 по 100 Вт, 50 – по 60 Вт, 50 - по 25 Вт, 50 - по 15 Вт. Вычислить вероятность того, что мощность любой взятой наугад лампочки не превысит 60 Вт.

Решение Пусть А – событие, состоящее в том, что мощность лампочки равна 60 Вт, В – 25 Вт, С – 15 Вт, D – 100 Вт. События А,В,С,D образуют полную систему, т.к.все они несовместны и одно из них обязательно наступит в данном испытании (выборе лампочки). Вероятность наступления одного из них есть достоверное событие, т.е. Р(А)+Р(В)+Р(С)+Р(D) = 1. События «мощность лампочки не более 60 Вт» и «мощность лампочки более 60 Вт» – противоположные. Р(А)+Р(В)+Р(С) = 1- Р(D), Р(А+В+С) = 1- 100 = 150 = 3 250 250 5 Ответ: 3 . 5

Условная вероятность и теорема умножения Условная вероятность события A при условии, что событие B произошло, определяется формулой: P (AB) = P (A) · P (B|A) Пример: P (AB) = P (A) · P (B|A) = 0, 95 · 0, 86 = 0, 817, где A — деталь годная, B — первого сорта.

Задача 6 Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0,2; Вероятность выхода из строя второго элемента равна 0,3. Найти вероятность того, что: а) оба элемента выйдут из строя; б) оба элемента будут работать.

Решение Пусть событие А – выход из строя первого элемента, событие Е – выход из строя второго элемента. Эти события независимы ( по условию). а) одновременно появление А и Е есть событие АЕ Р(АЕ) = 0,2·0,3 = 0,06 б) если работает первый элемент, то имеет место событие Ā (противоположное событию А – выходу этого элемента из строя); Если работает второй элемент – событие Ē, противоположное событию Е Р(Ā) =1- 0,2 = 0,8 и Р(Ē) = 1-0,3 = 0,7 Тогда событие, состоящее в том, что будут работать оба элемента, есть ĀĒ. Р(ĀĒ) = Р(Ā)·Р(Ē) = 0,8·0,7 = 0,56. Ответ: 0,56.

Список используемой литературы 1.А.Н.Мордкович,П.В.Семенов. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Доп.параграфы к курсу алгебры 7-9 кл.общеобразоват.учреждений.- 3-е изд. – М.:Мнемозина,2005. 2.А.Г.Климова,И.Н.Данкова,О.П.Малютина. Элективный курс для профильного обучения. (10-11 классы). Начала теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики.- Воронеж: ВОИПКРО,2006. 3.Журнал «Математика в школе» №5, №6, №7, 2011. 4.Учебно-методическая газета «Математика» №1, №7, 2008 ; №15, 2009.

Спасибо за внимание!)