Презентация на тему: Линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами Лекция 6

Вывод формул общего решения ЛОУ 2-го порядка Корни характеристического уравнения Случай 1. Если , то характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня В этом случае общее решение имеет вид .

Продолжение Случай 2. Если , то характеристическое уравнение имеет одинаковые корни . Частные решения ЛОУ выбираем так, чтобы они были линейно независимыми: и . Общее решение ЛОУ 2-го порядка будет иметь вид .

Продолжение Случай 3. Если , то характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня и , где и . Общее решение ЛОУ 2-го порядка в действительной форме можно записать в виде

Общее решение ЛОУ 2-го порядка в зависимости от корней характеристического уравнения 1. Если , то 2. Если , то 3. Если , то 4. Если , то

Пример Найти общее решение уравнения . Составим характеристическое уравнение . Его корни действительны и различны: . Поэтому общее решение

Пример Решить уравнение y +4y +4y =0. Характеристическое уравнение имеет два кратных корня , поэтому искомое общее решение .

Пример Решить уравнение y +4y +13y =0. Составим характеристическое уравнение . Корни этого уравнения комплексно-сопряженные. Общее решение исходного уравнения: .

Теорема о структуре общего решения линейного дифференциального уравнения 2-го порядка Общее решение уравнения y +py +qy = f(x), где p и q постоянные, а f(x) 0 , равно сумме общего решения однородного уравнения y +py +qy =0 и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения, т. е. .

Подбор частного решения ЛНОУ по виду правой части методом неопределенных коэффициентов 1. Пусть . Тогда частное решение ищут в виде: а)если , то б)если , то в)если , то

Продолжение 2. Пусть , где -заданный многочлен . Тогда частное решение уравнения ищут в виде: а)если , то б)если , то в)если , то , где = -многочлен с неопределенными коэффициентами.

В правой части уравнения-многочлен 1.Пусть , где -заданный многочлен. Это частный случай при =0. Тогда а)если , то б)если , то в)если , то

В правой части уравнения-тригонометрический полином 5. Пусть где степени многочленов и вообще говоря различны. Тогда а)если , то частное решение ищут в виде где степени многочленов и равны .

Продолжение б)если , то частное решение ищут в виде: Пример: указать вид частного решения уравнения . Характеристическое уравнение имеет:Д=-16 и корни , а решение имеет вид

Решить уравнение . . Корни этого уравнения действительны и различны, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид . Составим частное решение неоднородного уравнения по виду правой части: .

Продолжение Среди корней характеристического уравнения нет равных числу m =2. Поэтому ищем в виде: , где А – неопределенный коэффициент . . Подставим в уравнение. Имеем . Далее имеем 12А=3 и А= ¼.