Презентация на тему: 10 способов решения квадратных уравнений

10 способов решения квадратных уравнений

История развития квадратных уравнений. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне:Х2+Х=3/4 Х2-Х=14,5

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.Отсюда уравнение: (10+х)(10-х) =96или же:100 - х2 =96 х2 - 4=0 (1) Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Квадратные уравнения в Индии.ах2 + bх = с, а>0. (1)

Квадратные уравнения у ал – Хорезми.1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах2 + с = bх. 2) «Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с. 3) «Корни равны числу», т.е. ах = с. 4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bх. 5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bx = с. 6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах2.

Квадратные уравнения в Европе ХIII - ХVII вв.х2 +bх = с,при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

О теореме Виета.«Если В + D, умноженное на А - А2, равно ВD, то А равно В и равно D».На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место(а + b)х - х2 = ab,т.е.х2 - (а + b)х + аb = 0,тох1 = а, х2 = b.

Способы решения квадратных уравнений. 1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители.Решим уравнение х2 + 10х - 24 = 0. Разложим левую часть на множители:х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2). Следовательно, уравнение можно переписать так:(х + 12)(х - 2) = 0 Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х2 + 10х - 24 = 0.

2. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата.Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат.Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так какх2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2.Преобразуем теперь левую часть уравнениях2 + 6х - 7 = 0,прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.Таким образом, данное уравнение можно записать так:(х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.

3. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле.Умножим обе части уравненияах2 + bх + с = 0, а ≠ 0на 4а и последовательно имеем:4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0, ((2ах)2 + 2ах • b + b2) - b2 + 4ac = 0,(2ax + b)2 = b2 - 4ac,2ax + b = ± √ b2 - 4ac,2ax = - b ± √ b2 - 4ac,

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет видх2 + px + c = 0. (1)Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид x1 x2 = q, x1 + x2 = - pа) x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0; x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7 и x2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.б) x2 + 4x – 5 = 0; x1 = - 5 и x2 = 1, так как q= - 5 < 0 и p = 4 > 0; x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.

5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски».Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.Умножая обе его части на а, получаем уравнениеа2х2 + аbх + ас = 0.Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0,равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета.Окончательно получаем х1 = у1/а и х1 = у2/а.

• Пример.Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнениеу2 – 11у + 30 = 0.Согласно теореме Виетау1 = 5 х1 = 5/2 x1 = 2,5у2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.Ответ: 2,5; 3.

6. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.А. Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1, х2 = с/а.Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнениеx2 + b/a • x + c/a = 0. Согласно теореме Виетаx1 + x2 = - b/a, x1x2 = 1• c/a. По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,x1 + x2 = - а + b/a= -1 – c/a, x1x2 = - 1• ( - c/a),т.е. х1 = -1 и х2 = c/a, что и требовалось доказать.

Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней В. Приведенное уравнениех2 + рх + q= 0совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

7. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения. Если в уравнении х2 + px + q = 0перенести второй и третий члены в правую часть, то получимх2 = - px - q. Построим графики зависимости у = х2 и у = - px - q.

• Пример Решим графически уравнение х2 - 3х - 4 = 0 (рис. 2).Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4.Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13). Ответ: х1 = - 1; х2 = 4

8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.нахождения корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5).Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6,а рис. ) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения.3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

9. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.z2 + pz + q = 0. Криволинейная шкала номограммы построенапо формулам (рис.11):Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), Из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

• Примеры.1) Для уравнения z2 - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8,0 и z2 = 1,0 (рис.12). 2) Решим с помощью номограммы уравнение 2z2 - 9z + 2 = 0.Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнениеz2 - 4,5z + 1 = 0. Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.3) Для уравнения z2 - 25z + 66 = 0коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнениеt2 - 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откуда z1 = 5t1 = 3,0 и z2 = 5t2 = 22,0.

10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений.• Примеры.1) Решим уравнение х2 + 10х = 39. В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15). Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

у2 + 6у - 16 = 0.Решение представлено на рис. 16, где у2 + 6у = 16, или у2 + 6у + 9 = 16 + 9. Решение. Выражения у2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0 - одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = - 8 (рис.16).