Презентация на тему: Подготовлю справочник по геометрии (или как повторить геометрию к экзамену)

проект Подготовлю справочник по геометрии (или как повторить геометрию к экзамену)

ТРЕУГОЛЬНИК и всё связанное с ним. (курс 7-8 классов) 1.  Остроугольный, тупоугольный и прямоугольный треугольник. Катеты и гипотенуза. Равнобедренный и равносторонний треугольник. 2.Основные свойства треугольников. Сумма углов треугольника. Внешний  угол треугольника. 3.Признаки равенства треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников. 4.Замечательные линии и точки в треугольнике: высоты, медианы, Биссектрисы. 5. Срединные перпендикуляры, ортоцентр. 6.Треугольник и окружность. 7.Теорема Пифагора. Соотношение сторон в произвольном треугольнике.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины. Если все три угла острые ( рис.20 ), то это остроугольный треугольник. Если один из углов прямой(   рис.21 ), то это прямоугольный треугольник; стороны a, b, образующие прямой угол, называются катетами; сторона  c, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Если один из углов тупой (   рис.22 ), то это тупоугольный треугольник. Треугольник ABC ( рис.23 ) - равнобедренный, если две его стороны равны ( a = c ); эти равные стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием треугольника. Треугольник ABC ( рис.24 ) – равносторонний, если все его стороны равны ( a = b = c ). В общем случае ( a    b    c ) мы имеем неравносторонний треугольник.

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:  1.  Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.   2.  Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.      В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.   3.  Сумма углов треугольника равна 180 º .   Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем      треугольнике равен 60 º.   4.  Продолжая одну из сторон треугольника , получаем внешний      угол . Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,      не смежных с ним.    5.  Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше       их разности ( a  b – c;  b  a – c;  c  a – b ).  

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА! Признаки равенства треугольников.     Треугольники равны, если у них соответственно равны:           a)  две стороны и угол между ними;    b)  два угла и прилегающая к ним сторона;    c)  три стороны.   Признаки равенства прямоугольных треугольников.    Два прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий: 1)  равны их катеты; 2)  катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого; 3)  гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого; 4)  катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого; 5)  катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника ( точка O, рис.26 ) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника ( точка O, рис.27 ) – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла. Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника ( AD, BE, CF, рис.28 ) пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.   Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника ( AD, BE, CF, рис.29 ) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам; например, на  рис.29  AE : CE = AB : BC .

Серединный перпендикуляр! Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка(стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС ( KO, MO, NO, рис.30 ) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга ( точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC ). В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном - в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника. Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы; центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов . Доказательство теоремы Пифагора с очевидностью следует из рис.31. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами  a, b и гипотенузой c. Построим квадрат AKMB, используя гипотенузу AB как сторону. Затем продолжим стороны прямоугольного треугольника ABC так, чтобы получить квадрат CDEF, сторона которого равна  a+ b . Теперь ясно, что площадь квадрата CDEF равна ( a + b ) 2. С другой стороны, эта площадь равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников и квадрата AKMB, то есть                                                                                                               c 2 + 4 ( ab / 2 ) = c 2 + 2 ab , отсюда,  c 2 + 2 ab = ( a + b ) 2 , и окончательно имеем: c 2 =  a 2 + b 2 . Соотношение сторон в произвольном треугольнике. В общем случае ( для произвольного треугольника ) имеем:           c 2 = a 2 + b 2 – 2ab · cos C, где C – угол между сторонами  a  и  b .  

Работу выполнила Ученица 9 «Б» класса ГОУ СОШ №337 Ефимочкина Александра.

Руководитель проекта Учитель высшей квалификационной категории Мартыненко Оксана Михайловна; ГОУ СОШ №337 Невского административного района Г. Санкт-Петербург. 2011 г.