Презентация на тему: Применение производной в физике

Применение производной при решении прикладных задач (2 урока) (Интегрированные уроки) урок №1 повторительно-обобщающий Урок №2 урок-практикум 900igr.net

В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления. В.П. Ермаков

Урок № 1 повторительно-обобщающий Производная и ее применение при решении задач

Цели урока: Образовательные: Углубление понимания сущности производной путем применения ее для получения новых знаний; Установление межпредметных связей;

Воспитательные: Воспитание познавательного интереса к учебному предмету Воспитание у учащихся культуры мышления;

Развивающие : Формирование умений строить логическую цепочку рассуждений; Формирование умений проводить обобщение, переносить знания в новую ситуацию; Развитие монологической речи в ходе объяснений, обоснований выполняемых действий

План урока: 1. Сведения из истории математики. 2. Применение производной к исследованию функции. 3. Применение производной в решении прикладных задач. 4. Применение производной в решении задач на уроках физики.

1 2 3 4 5 6 7 м а к с и м у м н е п р е р ы в н а я п р о и з в о д н а я к а с а т е л ь н а я а р г у м е н т у с к о р е н и е с л о ж н а я

Лагранж Жозеф Луи (1736 – 1813)

План исследования функции: 1) Область определения функции; 2) Четность или нечетность функции, периодичность; 3) Точки пересечения графика с осями координат; 4) Промежутки знакопостоянства;

5) Промежутки возрастания и убывания; 6) Точки экстремума и значения; функции в этих точках; 7) Исследуют поведение функции в окрестностях «особых» точек и при больших по модулю x; 8) Построение графика функции.

Исследование функции

Задача Исследуйте функцию и постройте её график: f(x)= 6(x-1) x2 +3

Нули функции 1 x y -2

Промежутки знакопостоянства 1 x y -2 + -

Промежутки возрастания (убывания) функции, критические точки. 1 x y -2 + - 3 -1 f’(x) f(x) + - +

x (-∞;-1) -1 (-1;3) 3 (3;∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↘ -3 ↗ 1 ↘ min max

1 x y -2 3 -1 -3 1

Схема применения метода поиска наибольших и наименьших значений функции при решении прикладных задач: 1) Задача «переводится» на язык функций; 2)Средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке;

3) Выясняется, какой практический смысл( в терминах первоначальной задачи) имеет полученный результат (на языке функций).

Задача . Площадь прямоугольника 64 см2. Какую длину должны иметь его стороны, чтобы периметр был наименьшим? a b S=64cм2 P- наименьший Найти: a и b?

Применение производной в физике

Механическое движение

Уравнение, описывающее движение тела X = x 0 + ט0t + аt 2/ 2

Производная от координаты по времени есть скорость. ט(t ) = X /(t )

Производная от скорости по времени есть ускорение а = ט/(t ) = X // (t ) (т.е вторая производная от координаты по времени).

Задача №1 Дано: x(t)=-270+12t Найти: ט(t); а(t)-?

Решение: 1. ט (t)=x’=(-270+12t)’= (-270)’+(12t)’=0+12=12 м/c 2. a(t)= ט’=x’=(12)’=0 м/с

Задача №2 Дано: x(t) = - 5t 3+ 2t 2 + 5t Найти: ט = ט (t ); а = а (t )

Решение: ט(t)=x’=(-5t3)’+(2t2)’+(5t)’= -15t2+2*2t+5*1 => ט(t)=-15t2+4t+5 (уравнение, описывающее скорость движения тела). Если t=0, то ט(0)=5 м/с t=1с, то ט(1)=-15+4+5=-9 м/с

a(t)=ט’=(-5t2)’+(4t)’+(5)’= -30t+ 4 a(t)=-30t+ 4 (уравнение, описывающее ускорение тела) Если t=0 c, то a(0)=4 м/c2 t=1 с, то а(1)=-30+4=-26 м/c2

-это колебания, происходящие по закону sin или cos.

X(t)= xmax * sin(w*t+φ0)

xmax –амплитуда колебаний,[м] φ - начальная фаза колебаний[1цикл=2π рад.=360 °] ω- циклическая частота[Гц] φ0 –начальная фаза колебаний t- время колебаний[с] ∏ ≈ 3,14 T-период колебаний[с] ω

Определить по графику период, амплитуду и частоту колебаний. Найти максимальную силу, действующую на тело массой 150г. Задача

Из графика: xmax= 0,4(м); Т=0,4(с); φ0=0. ν = 1/Т = 1/0,4 = 2,5(с-1) Х= 0,4sin(2π*2,5t) = 0,4sin5πt V= x’= (0,4sin5πt)’= 2πcos5πt, где Vmax = 2π = 6,28 (м/с)

а =V’=(2πcos5πt)’= = -2π5πsin5πt = -98,6sin5πt где amax= -98,6 м/с2-амплитуда ускорения F = m•amax F = 0,15*(-98,6)= -14,8 [H] Ответ: xmax= 0,4(м); Т=0,4(с); ν=2,5с-1; F = -14,8 [H].

Формулы из физики и экономики, где используется производная: υ(t) = х' (t) – скорость a(t) = υ'(t) - ускорение J(t) = q'(t) - сила тока C(t) = Q' (t) - теплоемкость d(l) =m' (l) - линейная плотность K(t) = l' (t) - коэффициент линейного расширения

ω(t) = φ' (t) - угловая скорость а(t) = ω' (t) - угловое ускорение N(t) = A'(t) - мощность П(t) = υ ' (t) - производительность труда, где υ (t) - объем продукции J(x) = y ' (x) - предельные издержки производства, где y – издержки производства в зависимости от объема выпускаемой продукции x.

Домашнее задание: 1) 296 (в) 2)№ 307, 309 3) № 301 (в)*; 317*