Презентация на тему: Предел числовой последовательности

Понятие числовой последовательности Рассмотрим ряд натуральных чисел N: 1,  2,  3, …,  n – 1,  n, п + 1, … Функцию y = f(x), x N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y = f(n) или  y1,  y2, …, yn, … или {уn}. Величина уn называется общим членом последовательности. Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой уn = f(n), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n; эта формула называется формулой общего члена.

Примеры числовых последовательностей 1,  2,  3,  4,  5, … –  ряд натуральных чисел; 2,  4,  6,  8,  10, … – ряд чётных чисел; 1, 4, 9, 16, 25, … – ряд квадратов натуральных чисел; 5, 10, 15, 20, … – ряд натуральных чисел, кратных 5; 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... – ряд вида 1/n, где n N; и т.д.

Способы задания последовательностей Перечислением членов последовательности (словесно). Заданием аналитической формулы. Заданием рекуррентной формулы. Примеры: Последовательность простых чисел: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; … Арифметическая прогрессия: an = a1 + (n – 1)d Геометрическая прогрессия: bn + 1 = bn ∙ q

Ограниченность числовой последовательности Последовательность {уn} называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа. Пример: -1, -4, -9, -16, …, -п2, … - ограничена сверху 0. Последовательность {уn} ограниченна сверху, если существует число M такое, что для любого п выполняется неравенство уп ≤ М Число М называют верхней границей последовательности.

Возрастание и убывание числовой последовательности Последовательность {уn} называют возрастающей последовательностью, если каждый ее член больше предыдущего: у1 < y2 < y3 < y4 < … < yn < yn+1 < … Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 2п-1, … - возрастающая последовательность. Последовательность {уn} называют убывающей последовательностью, если каждый ее член меньше предыдущего: у1 > y2 > y3 > y4 > … > yn > yn+1 > … Пример: 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/(2п–1), … - убывающая последовательность. Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными

Ограниченность числовой последовательности Последовательность {уn} называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа. Пример: 1, 4, 9, 16, …, п2, … - ограничена снизу 1. Последовательность {уn} ограниченна снизу, если существует число m такое, что для любого п выполняется неравенство уп ≥ m Число m называют нижней границей последовательности. Если последовательность ограничена и сверху и снизу, то ее называют ограниченной последовательностью.

Свойства пределов предел частного равен частному пределов: предел произведения равен произведению пределов: предел суммы равен сумме пределов: постоянный множитель можно вынести за знак предела: Если , , то

Примеры:

Сумма бесконечной геометрической прогрессии Пример: Дано: b1 + b2 + b3 + b4 + … + bn + … = 9; (b1)2 + (b2)2 + (b3)2 + (b4)2 + … + (bn)2 + … = 40,5. Найти: b5. Решение: Ответ:

Предел функции на бесконечности В этом случае прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x). х у y = f(x) 0 у = b Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при x → ∞, если для произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x| > M, выполняется неравенство |f(x) - b| < ε.

Предел функции в точке Функция y = f(x) стремится к пределу b при x → a, если для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число δ, что при всех x ≠ a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x - a| < δ, имеет место неравенство |f(x) - b| < ε. х y = f(x) 0 b у а

Непрерывность функции в точке Функцию y = f(x) называют непрерывной в точке x = a, если выполняется условие Примеры:

Если m N, k R, то