Презентация на тему: Векторы (повторение)

Векторы(повторение)Учитель математики МБОУ «Школа№14»г.Яровое Алтайского краяПономарева Екатерина Викторовна

Вектором называется направленный отрезок.Векторы обозначаются:АВ, а, оВектор о- нулевой. lol=0 Модулем вектора называется длина содержащего его отрезка.l AB l=ABНенулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной, либо на параллельных прямых.

Векторы называются сонаправленными, еслиони коллинеарны и направлены в одну сторону.Векторы называются противоположнонаправленными, если они коллинеарны и направлены в противоположные стороны. Векторы называются равными , если они сонаправлены и их длины равны.

Сложение и вычитание векторов1.Сложение по правилу треугольника2.Сложение по правилу параллелограмма3. Правило вычитания

Правило сложения нескольких векторов

Умножение вектора на числоПроизведением ненулевого вектора на число k называется такой векторДлина которого равна l k l·l l , причем векторы и cонаправлены при k≥0 и противоположно направлены при k≤0.

Порешаем!Дано: ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед. Упростите выражение: C1D-DA+CD+D1A1+AB1+CC1Решение:Воспользуемся свойствами сложения векторовСС1+С1D=CD,D1A1-DA=0,Получаем: CD+CD+AB1,CD=BA, BA+AB1=BB1, CD+BB1=BA1

Координаты вектораПравила:Каждая координата суммы двух и более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.2. Каждая координата разности двух векторовравна разности соответствующих координат этих векторов.Каждая координата произведения векторана число равна произведению соответствующейкоординаты вектора на число.

Порешаем!1)Коллинеарны ли векторы а{4,8,12} и в{8,16,36}? Т.к. 8/4=2,16/8=2,36/12=3, то векторы не коллинеарны.2)Найти координаты вектора р=2а-1/3в+с,если а{1,-2,0},в{0,6,-6} и с{-2,3,1}.2a{2;-4;0}, -1/3b {0;-2;2}, p {2+0+(-2); -4+(-2)+3; 0+2+1 } = {0;-3;3}

Формулы в координатах.

Скалярное произведение векторов.Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.Cкалярное произведение векторов a{x1;y1} и b{x2;y2} выражается формулой а·b =x1·x2+y1·y2

следствияНенулевые векторы а{x1;y1} и b{x2;y2} перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0,т.е. х1х2+у1у2=0.. Косинус углаα между ненулевыми векторами а{x1;y1} и b{x2;y2} выражается формулой cosα=

Порешаем!1.Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты А(2;2),В(8;10),С(8;8) Найдем длины сторон треугольника1)А(2;2),В(8;10). а=√((8-2) ²+(10-2)²)=√(36+64)=102)В(8;10),С(8;8). b=√((8-8) ²+(10-8)²)=√4=23)А(2;2),С(8;8). c=√((8-2) ²+(8-2)²)=6√2Найдем площадь по формуле ГеронаS=√p(p-a)(p-b)(p-c), p=(12+6√2)/2=6+3√2S=√(6+3√2)(6+3√2-10)(6+3√2-2)(6+3√2-6√2)=√(6+3√2)(3√2-4)(3√2+4)(6-3√2)=«первый и четвертый множители образуют формулу, второй и третий тоже»=√(36-18)(18-16)=√18*2=6

Порешаем!2.Даны векторы а=mi+3j+4k и в=4i+mj-7k.При каком значении  m  векторы а и в перпендикулярны?Векторы а и в перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0.а·в=0;a{m,3,4}в{4,m,-7}.a·в=4m+3m-28=07m=28m=4

Порешаем!3.Дан треугольник АВС. А(-6;1)В(2;4)С(2;-2)Доказать:1)треугольник АВС равнобедренный 2)найти высоту треугольника, проведенную из вершины АРешение:Найдем длины сторон треугольникаА(-6;1),В(2;4). АВ=√(2+6)²+(4-1)²=√73В(2;4),С(2;-2).ВС=√(2-2)²+(4+2)²=√36=6А(-6;1),С(2;-2).АС=√(2+6)²+(1+2)²=√73Т.к. АВ=АС, то ΔАВС-равнобедр. с основанием ВС. 2)Высота, проведенная к основанию является медианой.О(х;у) –середина основания.х=(2+2)/2=2, у=(4-2)/2=1. О(2;1).Найдем высоту АО:АО=√(2+6)²+(1-1)²=8

Порешаем!4.При каком значении t вектор 2a+tb перпендикулярен вектору b-a,если a{2;-1}, b{4;3}? Решение:Т.к. векторы 2а+tb и b-a перпендикулярны, то и их скалярное произведение равно 0. Т.е. (2а+tb )·(b-a)=0 2ab-2a²+tb²-tab=0 ab=2·4+3·(-1)=8-3=5, a²=4+1=5, b²=16+9=25 2·5-2·5+t·25-t·5=0 10-10+20t=0 t=0

Порешаем!.В треугольнике АВС АВ=17 см, ВС=8 см, АС=15 см, Найдите:а) АВ·АС, ВА ·ВС, СА ·СВ;б) длину окружности, описанной около треугольника;Решение:1)АВ²=ВС²+АС²17²=8²+15²289=289, ΔАВС- прямоугольный, <С=90°.2)АВ·АС=17·15·cosA; cosA=15/17АВ·АС=17·15·15/17=225BA·BC=17·8·cosB; cosB=8/17BA·BC=17·8·8/17=64CA·CB=15·8·cos90°=0CA·CB=0;3) C=2ПR=dП (АВ-диаметр)С=17П

Дома: 1)выучить теоретический материал; 2)решить задачи:А) Сторона равностороннего треугольника MLN равна 6см. Найдите скалярное произведение LM и LN.Б) Найдите косинус угла А в треугольнике АВС, если А(-4;2), В(2;4),С(-1;-2) .

Задачи взяты с сайтов:www.postupivuz.ru/vopros/4484.htmhttp://mathege.ru/or/ege/Main.html?view=Abouthttp://www.mathgia.ru:8080/or/gia12/