Презентация на тему: В мире квадратных уравнений

ГОУ ДПО СарИПКиПРОрегиональный конкурс «Математика в моей жизни - 2009» "В мире квадратных уравнений"Выполнила: Шатилова ВикторияУченица 9 «А» классаМОУ «СОШ р.п. Красный Текстильщик Саратовского района Саратовской области»Руководитель: Свириденко О.В.2009 г

Оглавление ВведениеЗаметки прошлогоОсновные понятияТеорема ВиетаСпособы решения квадратного уравнения

Введение     Математика — основа точных наук. На первый взгляд кажется, что она не имеет никакого отношения к природе, но на самом деле это не так. Без неё невозможно построить корабль и самолет, автомобили и метрополитены, даже строительство домов требует точности. Любовь к точным наукам развивает умение логически мыслить, анализировать, смотреть на вещи другими глазами и давать точное определение. Я согласна с высказыванием английского физиолога Андру Филлинг Хаксли «Математика похожа на мельницу: если вы засыпете в нее зерна пшеницы, то получите муку, если же засыпете отруби, отруби и получите», поэтому я пытаюсь с большим старанием и желанием учить алгебру, геометрию и физику. Но больше всего я люблю решать квадратные уравнения. Знания в этой области мне даются легко.

Цель работы: рассмотреть неизвестные способы решения квадратных уравненийЗадачи: познакомиться с историей возникновения квадратных уравненийповторить теорему Виета и её доказательство узнать и понять незнакомые решения квадратных уравнений

«Уравнение есть равенство, которое еще не является истинным, но которое стремятся сделать истинным, не будучи уверенными, что этого можно достичь.» Фуше А.«Процесс " решения" уравнения есть просто акт приведения его к возможно более простой форме. В какой бы форме уравнение ни было написано, его информационный характер остается тот же.» Лодж О.

Заметки прошлого Многие математики древности решали квадратные уравнения геометрическим способом. Например, для решения уравнения x2 + 10x = 39 поступали следующим образом. Пусть АВ = х, ВС = 5 (= 10 : 2). На стороне АС = АВ + ВС строился квадрат, который разбивался на четыре части, как показано на рисунке 92. Очевидно, что сумма площадей I, II и III   частей  равна   x2 + 10x,  или  39. Методы решения квадратных уравнений были известны еще в древние времена. Они излагаются, например, в вавилонских рукописях времен царя Хаммурапи (XX в. до н. э.), в трудах древнегреческого математика Евклида   (III в. до н. э.), древних китайских и японских трактатах.Если к этой площади прибавить площадь IV части, то в результате получится 64 — площадь всего квадрата. Но эта же площадь равна (х + 5)2, так как АС = х + 5. Следовательно,(х + 5)2 = 64х + 5 = 8,х = 3.

Древний ЕгипетВпервые квадратное уравнение сумели решить математики древнего Египта. В одном из папирусов есть задача: «Найти площадь прямоугольного поля, если площадь 12, а 3/4длины равны ширине.» Пусть х - длина поля. Тогда 3х/4 - его ширина, S=3х2/4 - площадь. Получилось квадратное уравнение 3х2/4=12 В папирусе дано правило:"Разделить 12 на 3/4". 12:3/4=12 4/3=16. Итак, х2=16. "Длина поля равна 4" - указано в папирусе.Прошли тысячелетия, и сейчас мы получим два решения уравнения: -4 и 4.Но в египетской задаче и мы приняли бы х=4,т.к. длина поля может быть только положительной величиной.

ЕвропаФормулы решения квадратных уравнений по образцу ал- Хорезми(Мухаммед ал – Харезми - великий мусульманский математик, астроном и географ, основатель классической алгебры) в Европе были впервые изложены в "Книге абака", написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи(Пизанский около 1170 — около 1250г. – первый крупный математик средневековой Европы. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Леонардо ФибоначчиЛист из книги абака

ЕвропаОбщее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому видух2 + bx = cпри возможных комбинациях знаков коэффициентов b , c , было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем (около 1487 — 19 апреля 1567) — немецкий математик .

Основные понятияКвадратное уравнение- это уравнение вида ax2+bx+c=0 где, a, b, c - действительные числа, причем a не равно 0. Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a не равно 1, - то неприведенным. Числа a, b, c носят следующие названия a - первый коэффициент, b - второй коэффициент, c - свободный член.

Теорема ВиетаВыражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел, поэтому при решении уравнений рассматривал только положительные корни. «Виет (1540-1603) сделал решающий шаг, введя символику во все алгебраические доказательства путем применения буквенных обозначений для выражения как известных, так и неизвестных величин не только в алгебре, но также и в тригонометрии.» Бернал Д.Четыре года опалы оказались чрезвычайно плодотворными для Виета. Математика стала его единственной страстью, он работал самозабвенно. Мог просиживать за письменным столом по трое суток подряд, только иногда забываясь сном на несколько минут. Именно тогда он начал большой труд, который назвал "Искусство анализа или Новая алгебра".Книгу завершить не удалось, но главное было написано. И это главное определило развитие всей математики Нового времени.

Доказательство теоремы Виета Пусть x1 и x2 – различные корни квадратного трехчлена x2 + px + q. Теорема Виета утверждает, что имеют место следующие соотношения:x1 + x2 = –px1 x2 = qДля доказательства подставим каждый из корней в выражение для квадратного трехчлена. Получим два верных числовых равенства:x12 + px1 + q = 0x22 + px2 + q = 0Вычтем эти равенства друг из друга. Получимx12 – x22 + p (x1 – x2) = 0Разложим разность квадратов и одновременно перенесем второе слагаемое в правую часть:(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)

Так как по условию корни x1 и x2 различны, то x1 – x2 не равна  0 и мы можем сократить равенство на x1 – x2. Получим первое равенство теоремы:x1 + x2 = –pДля доказательства второго подставим в одно из написанных выше равенств (например, в первое) вместо коэффициента p, равное ему число – (x1 + x2):x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0Преобразуя левую часть, получаем:x12 – x12 – x2 x1 + q = 0x1 x2 = q, что и требовалось доказать.

Способы решения квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х1; 0 ) и D (х2; 0), где х1 и х2 - корни уравнения ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.

Итак:1) Построим точки (центр окружности) и A(0; 1);2) проведем окружность с радиусом SA;3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения. При этом возможны три случая.1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра

окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

• Пример: Решим уравнение х2- 2х - 3 = 0 (рис. 7).Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам: Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).Ответ: х1 = - 1; х2 = 3.

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы Криволинейная шкала номограммы построенапо формулам (рис.11):Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = аИз подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z2 + pz + q = 0

• Примеры.1) Для уравнения z2 - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8,0 и z2 = 1,0 (рис.12). 2) Решим с помощью номограммы уравнение 2z2 - 9z + 2 = 0.Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнениеz2 - 4,5z + 1 = 0. Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.3) Для уравнения z2 - 25z + 66 = 0коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнениеt2 - 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откуда z1 = 5t1 = 3,0 и z2 = 5t2 = 22,0.

Геометрический способ решения квадратных уравнений. Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х2 + 10х + 25. Заменяя х2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

2.Решить геометрически уравнение у2 - 6у - 16 = 0. Преобразуя уравнение, получаем у2 - 6у = 16. На рис. 17 находим «изображения» выражения у2 - 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению у2 - 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у - 3. Заменяя выражение у2 - 6у равным ему числом 16, получаем: (у - 3)2 = 16 + 9, т.е. у - 3 = ± √25, или у - 3 = ± 5, где у1 = 8 и у2 = - 2.

Вывод В ходе работы я познакомилась с историей возникновения квадратных уравнений, повторила теорему Виета и её доказательство. Узнала интересные способы решения квадратных уравнений. Я уверена, что математические знания, в частности по данной теме, помогут мне при поступлении в ВУз.

Литература:1.Большая энциклопедия Кирилла иМефодия2.Википедия3.Справочник математических формул