Презентация на тему: Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами в курсе математики основной школы

Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами в курсе математики основной школы

Задачи с параметрами вызывают большие затруднения у учащихся и учителей. Это связано с тем, что решение таких задач требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и хорошей техники исследования.

Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами является одним из наиболее сложных и интересных разделов математики, который развивает мыслительную деятельность учащихся, формирует представление о буквенном выражении чисел и их свойствах, систематизирует и значительно расширяет знания учащихся, полученные в учебной деятельности при изучении свойств уравнений, функций, при выполнении алгебраических преобразований. Открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, применяемых в исследованиях на любом другом материале, повышает логическую культуру и технику исследований.Позволяет приблизить знания учащихся к требованиям контрольных измерительных материалов части с единого государственного экзамена.

Решение линейных уравнений с параметрами Формировать умение учащихся видеть в выражении число, обозначенное буквой, необходимо на начальных ступенях обучения математике. В 5 классе при повторении свойств чисел можно рассмотреть примеры.

Примеры: 1) При каком натуральном значении а верно равенство:а) а + 7 = 7 + 5;б) 3 а = 8 3?2)При каких натуральных значениях b деление 18 : b выполнено без остатка? 3) При каких натуральных значениях b при делении 16 : b в остатке получится 1?4)При каких натуральных значениях с верно неравенство 12с 100?5) При каких натуральных значениях p верно неравенство 12 5р 50?Задания, подобные примерам 1, 2, 4 можно предлагать учащимся в устной работе, а примеры 3, 5 для индивидуальной работы на уроке или при составлении контрольной работы в качестве задания развивающего плана.

В теме "Решение уравнений" ребята знакомятся с определением понятия "корень уравнения", вызывает интерес и способствует запоминанию определения корня уравнения следующее задание:Укажите значение а, при котором число 5 является корнем уравнения ах = 20.Решение. Если число 5 – корень уравнения ах = 20, то равенство будет верным а 5 = 20а = 20 : 5а = 4Ответ: при а = 4 число 5 – корень уравнения ах = 20.

6 класс При изучении темы "Обыкновенные дроби" в курсе математики 6 класса в устной и самостоятельной работе можно использовать примеры, способствующие запоминанию понятий "правильная" и "неправильная" дроби, умению сокращать дроби. 1) При каких натуральных значениях b дробь является правильной? 2) При каких натуральных значениях m дробь является неправильной?3) При каких натуральных значениях а правильная дробь сократима?4) При каких натуральных значениях с неправильная дробь сократима?

В заключении изучения темы "Действия с рациональными числами" на уроках математики в 6 классе можно рассматривать примеры решения уравнений вида 0х = 5; 0х = 0, предлагать задания развивающего характера в устной работе, а затем и в индивидуальной дифференцированной работе уравнения:1) 0х = а; 2) bх = 0.1) При каких значениях а уравнение 0х = а не имеет решений? При каких значениях а уравнение имеет бесконечное множество решений? 2) При каких значениях b уравнение bх = 0 имеет бесконечное множество решений? При каких значениях b уравнение bх = 0 не имеет решений?На внеклассных занятиях по математике в 6 классе рассматривается решение уравнений с параметрами вида:1) ах = 62) (а – 1)х = 8,33) bх = -5

7 класс Продолжить работу по решению простейших линейных уравнений с параметрами и приводимых к ним можно в 7 классе при изучении темы: "Решение линейных уравнений". В устной работе повторяется решение уравнений вида: 0х = 5; 6х = 0; 0х = 0; ах = 0; 0х = b; сх = 7.Затем в ходе урока можно рассмотреть уравнения, развивающие представление учащихся о решении уравнений с параметрами.Пример. При каком значении а число 4 является корнем уравнения (а – 5) 4 – 2а = 3х – 1?Решение:Если 4 – корень уравнения, то при х = 4 получим верное равенство (а – 5) 4 – 2а = 3 4 – 1, 4а – 20 – 2а = 12 – 1,2а = 20 + 11,2а = 31,а = 15,5Ответ: при а = 15,5 число 4 – корень уравнения.

Изучив тему седьмого класса "Разложение многочленов на множители" и в ходе изучения этой темы на факультативе, ребята с интересом решают уравнения вида:При каких значениях а уравнение 6(ах + 1) + а = 3(а –х) + 7 имеет бесконечное множество решений?Решение:6(ах + 1) + а = 3(а –х) + 76ах + 6 + а = 3а – 3х + 7(6а + 3)х = 2а + 1Найдем контрольное значение а.6а + 3 = 0а = -1/2. При а = -1/2 получим уравнение 0х = 0. Уравнение имеет бесконечное множество решений.При а -1/2 х = , х = , х = 1/3 – уравнение имеет одно решение.Ответ: при а = уравнение имеет бесконечное множество решений.

8 класс Изучение темы "Действия с алгебраическими дробями" позволяет углубить работу с учащимися по выработке их умений проводить анализ решения более сложных линейных уравнений с параметрами на факультативных занятиях.Пример. Решите уравнение:2х – 3(а – х) = ах – 15Решение:2х – 3(а – х) = ах – 152х – 3а + 3х = ах – 155х – ах = 3а – 15(5 – а)х = 3(а – 5)Найдем контрольное значение а:5 – а = 0а = 5При а = 5 получим уравнение 0х = 0, которое имеет бесконечное множество решений.При а 5 х = (делим на число 5 – а 0)х = х = -3 – уравнение имеет одно решение.Ответ: при а = 5 – бесконечное множество решений, при а 5 – одно решение х = -3.

Решение квадратных уравнений с параметрами в курсе математики основной школы Обучение решению квадратных уравнений с параметрами можно начинать в 8 классе с устного счета, применяя знания учащихся, полученные при изучении темы "Решение квадратных уравнений".Учащиеся знакомятся с понятием "дискриминант", учатся находить количество корней квадратногоуравнения в зависимости от его значения.

Примеры: 1) При каких значениях m уравнение х2 – 3х – 2m = 0 не имеет действительных корней?Решение: х2 – 3х – 2m = 0. Так как квадратное уравнение не имеет действительных корней, то его дискриминант принимает отрицательные значения:D = 9 + 8m9 + 8m < 0m < Ответ: при m < уравнение не имеет действительных корней2) При каких значениях а уравнение х2 + 5х + 10а = 0 имеет два действительных корня?3) При каких значениях b уравнение x2 + bx + 4 = 0 имеет один действительный корень?

Для индивидуальной работы на уроке можно предложить задания развивающего характера.Пример. При каких значениях m квадратное уравнение mx2 + 6x - 3 = 0 имеет два действительных корня?Решение: mx2 + 6x - 3 = 0.Так как уравнение является квадратным, то его первый коэффициент m 0.Так как квадратное уравнение имеет два действительных корня, то его дискриминант принимает положительные значения. D = 36 + 12m36 + 12m > 012m > -36m > -3Ответ: при m > -3, m 0 квадратное уравнение mx2 + 6x - 3 = 0 имеет два действительных корня.При решении этих примеров отрабатывается не только понятие "дискриминант", но и определение квадратного уравнения.

9 класс После изучения темы "Решение неравенств второй степени с одной переменной" рассматривается решение более сложных примеров.

Пример. При каких значениях параметра m уравнение mx2 – 4x + m + 3 = 0 имеет более одного корня?Решение: mx2 – 4x + m + 3 = 0. Так как уравнение является квадратным, то его первый коэффициент m 0.При m 0 получится квадратное уравнение, которое имеет более одного корня, если его дискриминант имеет положительное значение.D=16-4m2-12m. Решим неравенство m2 + 3m – 4 < 0 методом интервалов.Найдем корни многочлена m2 + 3m – 4.m2 + 3m – 4 = 0m1 = -4; m2 = 1Разложим многочлен m2 + 3m – 4 на множители: (m + 4)(m – 1) < 0.Найдем знаки многочлена (m + 4)(m – 1) на интервалах:Ответ: уравнение имеет более одного корня при –4 < m < 1, m 0.

На факультативе в 9 классе можно рассмотреть решение примеров: 1) При каких значениях k корни уравнения х2 + (k2 – 4k – 5)x + k = 0 равны по модулю?Решение: х2 + (k2 – 4k – 5)x + k = 0. Воспользуемся условием равенства корней квадратного уравнения по модулюk2 – 4k – 5 = 0k1= -1; k2 = 5-1 < 0; 5 > 0 k = 5 – посторонний корень.При k = -1 получим уравнениех2 – 1 = 0х2 = 1Х1, 2 = 1-1 = 1Ответ: при k = -1 корни уравнения равны по модулю.

2) Найти значение р квадратного уравнения х2 + рх + 24 = 0, если известно, что его корни положительны, и их разность равна 2.3) При каких значениях а оба корня квадратного трехчлена х2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 отрицательны?4) При каких значениях параметра а корни уравнения х2 + ах + 2а = 0 действительны и оба больше (-1).5) При каких значениях параметра а сумма корней уравнения 4х2– 4(а – 1)х + 1 = 0 отрицательна?При решении этих примеров используются необходимое и достаточное условие существования двух различных корней, больших данного числа, и теорема Виета.

Учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами показывают глубокие знания свойств функций, изучаемых в курсе математики основной школы, умение логически мыслить, осуществляя анализ и синтез любой задачи школьных образовательных программ и жизненных ситуаций.Эти ребята имеют грамотную математическую речь, показывают прочные знания по математике и другим предметам.Они владеют общеучебными умениями и навыками, что позволяет им самостоятельно приобретать знания, развивать свои творческие способности.