Презентация на тему: Решето Эратосфена

МОУ «Лицей №17»Фестиваль «Портфолио» Автор: Шульгина Дарья ученица 7 б класса Руководитель: Зандер С.И. учитель математикиСлавгород, 2008

Тема: «Решето Эратосфена»

Идея возникновения проекта: Ещё на уроке я поняла что такое простые и составные числа, но меня заинтересовали вопросы «а такие ли они простые «простые числа»?», сколько их вообще существует и можно ли обнаружить способ их нахожденияМне была интересна и сама задача, и технология ИКТ, и сам продукт, т.е в виде чего будет представлена моя работа

Цель:Нахождение простых чисел через освоение метода «Решето Эратосфена», с последующим созданием медиапрезентации и её использования на уроках математики

Собрать и изучить материалПрименить понятия «кратные и делители числа» из предыдущего проектаРассмотреть отдельные варианты таблиц: до 48, до 100, до 150, до 200Открыть какие-либо закономерности и свойства в ряду чиселОбобщить полученные данные и сформулировать вывод

Актуальность: Когда на форзаце учебника мы обнаружили таблицу простых чисел, то решили для себя, что авторы учебника придают этим числам большое значение и значит тема «простые числа» актуальна. И действительно, простые числа являются как бы «кирпичиками» из которых «строятся» остальные натуральные числаИ так как в настоящее время материал более наглядно представить можно с помощью компьютера, то решили применить ИКТ

Методы:ПоисковыйМетод (от частного к общему) Технология: Исследование

Новизна исследования: Использование проектной технологииПрименение компьютера для нахождения простых чисел, применение эффекта анимации для показа определённой группы чисел

Объект исследования: Метод поимки «простых чисел» Предмет исследования: Простые, составные числа

Источники: Босова Л.Л. Информатика 6кл-Москва: БИНОМ,2007Виленкин Н.Я. Математика 6кл-Москва: Просвещение,2002Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных-Москва: Просвещение,1992Сост. Э-68 Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика-М.: Педагогика, 1989Фотографии выполнены автором- Шульгиной Дашей, (панорамы на стенах лицея)

Практическое использование: На уроках математики при изучении тем: «разложение чисел на множители», «приведение дробей к общему знаменателю»Созданная таблица, красочно оформленная, поможет и другим учащимся разобраться в нахождении простых чисел

Гипотеза: Мы освоим метод «Решето Эратосфе на», но, вероятнее всего, не сможем найти самое большое простое число

Загадочные простые числа Со времен древних греков простые числа оказываются столь же привлекательными, сколь и неуловимыми. Математики постоянно испытывают разные способы их «поимки», но до сих пор единственным по-настоящему эффективным остаётся тот способ, который найден александрийским математиком и астрономом Эратосфеном. А этому методу уже около 2 тыс. лет! Этим же вопросом занимался и древнегреческий математик Эвклид

Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число, либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простыхЧИСЕЛ, Т.Е. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА- это такие «кирпичики», из которых строятся остальные натуральные числа.

Почему решето? Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа не вычёркивали, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена и называл ся «Решетом Эратосфена»: в этом решете «отсеиваются» простые числа от составных.

Определения Если одно целое число можно разделить на другое без остатка, то второе число называется делителем первого.Кратным натуральному числу а называют натуральное число, которое делится без остатка на а.Натуральное число называется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Натуральное число является составным, если оно имеет более двух делителей.

Произвольный способ нахождения простых чисел 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4пр.ч.11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4пр.ч. 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 2пр.ч.31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 2пр.ч.41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 3пр.ч.51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 2пр.ч.

В этом случае мы не можем найти закономерность обнаружения простых чисел, они встречаются неравномерно. Мы находим их «вручную»Это очень интересное свойство простых чисел, они отказываются подчиниться какой либо закономерности (для примера: чётные числа встречаются через одно число в ряду натуральных чисел; числа кратные 3 встречаются через два числа и т.д.). Поэтому мы и обратились к варианту, который называется «Решетом Эратосфена»

Решето Эратосфена 3 простых числа2 простых чисел2 простых чисел2 простых чисел1 простое число1 простое число2 простых чисел2 простых чиселВсего-15 пр.чисел

Алгоритм нахождения простых чисел В этой таблице все простые числа, меньше 48 обведены кружками. Найдены они так. 1 имеет единственный делитель - себя, поэтому 1 не является простым числом, 2- наименьшее ( и единственное четное) простое число. Все остальные четные числа делятся на 2 и у них есть по крайней мере 3 делителя; поэтому могут быть вычеркнуты. Следующее не вычеркнутое число-3; оно имеет ровно 2 делителя, поэтому оно простое. Все остальные числа, кратные 3, вычеркиваются. Теперь первое не вычеркнутое число 5; оно простое, а все его кратные можно вычеркнуть. Продолжая вычеркивать кратные, можно отсеять все простые числа меньше 48.

А теперь найдем все простые числа меньше 100, для этого продолжим таблицу до 102, дополнительно определяя делится ли число на 2,3,5,7

Таблица от 49 до 1021 простое число1 простое число1 простое число2 простых числа1 простое число2 простых числа1 простое число2 простых числаВсего-10 пр.чисел

Таблица от103 до1502 простых числа2 простых числа2 простых числа1 простое число2 простых числа1 простое числоВсего-10 пр.ч.

Итак, простыми числами от 1 до 200 являются 25 чисел на первой сотне натуральных чисел: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,4753,59,61,67,71,73,79,83,89,97 и 20 чисел на второй сотне: 101,103,107,109,113,127,131,137,139,149 157,163,167,173,179,181,191,193,197,199

Мы РАЗОБРАЛИСЬ, ЧТО ТАКОЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ («РЕШЕТО Эратосфена»), ПО ЕГО ПРИНЦИПУ СОЗДАЛИ СВОИ ТАБЛИЦЫ и нашли простые числа от 1 до 200, показали, что в одних рядах простых чисел больше, в других- меньше, т.е. встречаются они неравномерно. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: а существует ли самое последнее простое число? Древнегреческий математик Евклид (IIIв. До н.э.) в своей книге «Начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т.е. за каждым простым числом есть ещё большее простое число.Наша гипотеза оказалась верна, указать самое большое простое число невозможно

Мне очень понравилось проводить исследования с простыми числами, которые «привлекательны», но в тоже время и неуловимы, я попыталась «уловить», отсеять простые числа от составных пользуясь «Решетом Эратосфена» т.е. проделала работу, которой 2 тыс. лет назад занимался александрийский математик Эратосфен. В дальнейшем я планирую создать таблицы, по которым можно будет проверять делится ли число на 11, 13, 17 и т.д.

Спасибо за внимание!