Презентация на тему: Прямая на плоскости

Аналитическая геометрия Лекции8,9

Прямая на плоскости

Определение. Уравнением линии на плоскости называется уравнение, которому удовлетворяют координаты и любой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Теорема. Всякое уравнение первой степени где А и В не обращаются в нуль одновременно, представляет собой уравнение некоторой прямой линии на плоскости

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Введем следующие понятия. Вектор, перпендикулярный прямой будем называть нормалью прямой и обозначать Итак, . Вектор, параллельный прямой, будем называть направляющим вектором этой прямой. Обозначим его

Тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси будем называть угловым коэффициентом этой прямой:

Пусть точка лежит на прямой. Точка -произвольная точка прямой.

Тогда скалярное произведение

Получили уравнение прямой, проходящей через заданную точку, перпендикулярно данному вектору:

Общее уравнение прямой Из предыдущего уравнения легко получаем общее уравнение прямой

Каноническое уравнение прямой

Пусть и

Тогда из условия коллинеарности векторов и получаем каноническое, т. е. простейшее уравнение прямой:

Пример Написать уравнения прямых, проходящих через точку параллельно и перпендикулярно вектору . Первое уравнение и второе .

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть

Координаты этих векторов пропорциональны: Получили уравнение прямой, проходящей через две точки.

Параметрические уравнения прямой Приравняем обе части соотношения к t. Получим параметрические уравнения прямой

Уравнение прямой с угловым коэффициентом Преобразуем уравнение к виду

Обозначив , где , получим

Уравнение прямой ,проходящей через точку Пусть точка лежит на прямой . Тогда Вычтем из первого второе соотношение . Получим

Уравнение прямой в отрезках

Взаимное расположение прямых

Угол между двумя прямыми Пусть две прямые заданы общими уравнениями

Тогда угол между этими прямыми равен углу между их нормалями , т. е.

Пусть даны прямые

Тогда

Условия параллельности Прямые параллельны тогда и только тогда, когда выполняется одно из двух условий ( в зависимости от вида уравнений прямых).

Условие перпендикулярности

Расстояние от точки до прямой Расстояние от точки до прямой находят по формуле .

Пример Найти уравнение прямой, проходящей через точки и .