Презентация на тему: Методы решения квадратных уравнений

Методы решения квадратных уравнений

Определение Квадратные уравнения (КВУР) – уравнения вида ax²+bx+c=0, где x – переменная, a, b и c – любые числа, причем a≠0.(В случае, когда а = 0, КВУР переходит в класс линейных уравнений, т.к. исключается переменная во второй степени)

Виды КВУРПолныеax²+bx+c=0Неполные1) c=0ax²+bx=02) b=0ax²+c=03) b=c=0ax²=0Приведенныеx²+px+q=0

Методы решения.Неполные КВУР. I. ax²+bx=0 1) Вынести общий множитель за скобки и разложить на множители:x·(ax+b)=0x=0 или ax+b=0

Методы решения.Неполные КВУР. 1) 2x²+3x=0x(2x+3)=0x=0 или 2x+3=0 2x=-3 x=-1,5Ответ: -1,5; 0 2) 5u²-4u=0u(5u-4)=0u=0, u=0, u=0,5u-4=0; 5u=4; u=0,8.Ответ: 0; 0,8.

Методы решения.Неполные КВУР. II. ax²+c=0 ax²=-cx²= ˂0 =0 ˃0 2корня нет решений x²=0 x= x=0

Методы решения.Неполные КВУР. Примеры:x²+19=0 x²=-19 -19˂0 нет корнейОтвет: нет корней. Примеры:2) x²-19=0 x²=19 19˂0 2 корня x= x=Ответ: .

Методы решения.Неполные КВУР. III. ax²=0 x²=0 смотри здесь. x=0

Методы решения.Выделение полного квадрата. b=четное x²-4x+3=0x²-2·x·2+4-4+3=0 (x-2)²-1=0 (x-2)²=1 x-2=± x-2= x=3 или x=1Ответ:1, 3. b=нечетное 2x²+x+2=0 | :2 x²+ x+1=0 x²+2·x· + - +1=0 (x+0,25)²+ =0 (x+0,25)²= - ˂0 =˃ нет корнейОтвет: нет корней.

Методы решения.Полные КВУР ax²+bx+c=0 x²+8x+16=0(x+4)²=0x+4=0x=-4Ответ: x=-4. 2) a²-2,6a+1,69=0(a-1,3)²=0a-1,3=0a=1,3Ответ: a=1,3.

Методы решения.Полные КВУР. Частные случаи. Теорема 1:Если a+b+c=0, то x =1, x = Примеры:5x²-8x+3=05-8+3=0 Теорема1x =1; x = .Ответ: x =1; x = .2) 3x²-7x+4=0; 3-7+4=0 Теорема1x =1; x = .Ответ: 1; .

Методы решения.Полные КВУР. Частные случаи. Теорема 2:Если a-b+c=0, то x =-1, x =- . Примеры:1) 5x²+9x+4=0 5-9+4=0 Теорема2 x =-1; x =- . Ответ: x =-1; x =- .2) y²-22y-23=0 1+22-23= 0 Теорема2 x =-1; x =- x =23. Ответ:-1; 23.

Методы решения.Приведенные КВУР. Теорема ВИЕТА:x²+px+q=0 (a=1)x1 +x2 =-px *x =q Примеры:x²-6x+8=0x =2; x =4 x +x =6 x +x =8Ответ: 2, 4.y²-10y-24=0y =-4; y =6 y +y =10 y *y =24Ответ: y =-4; y =6.

Методы решения.«Переброска» 1) 2x²-5x-3=0 x²-5x-3*2=0 x²-5x-6=0 (решим по Теореме 2) Корни запишем в виде: x = x = =3 Ответ: x =-0,5; x =3. 2) 3x²+2x-5=0x²+2x-15=0Решим по Теореме ВИЕТА.x = x =Ответ: ;

Решение КВУР по формуле: Если второй коэффициент(b)-нечетный, то дискриминант: Формула корней: Если второй коэффициент(b)-четный, то дискриминант :

Решим примеры a=4;b=1;c=-33Т.к. b-нечетное, то решаем это уравнение по формуле 1:

a=3;b=-13;c=14Т.к. b-нечетное, то решаем по формуле 1:

a=12;b=16;c=-3Т.к. b-четное, то решаем по формуле 2:

a=5;b=26;c=-24Т.к. b-четное, то решаем по формуле 2:

Авторы:Ученики 8 класса ФМЛ № 38 г.УльяновскаКриворотова ПолинаШагаев Анатолий Руководитель:Учитель математики Алейникова Т.В.