Презентация на тему: Объемы тел

ТЕМА:Объемы тел Проект выполнили ученицы11 «А»класса МОУ Алексеевской СОШПлешакова Дарья и Щукова КсенияРабота выполнена под руководствомучителя математики Плешаковой О.В. 2010 год

Содержание: История изучения объемов тел.История измерения объемов тел.Понятие объема.Свойства объемов тел.Объем куба.Объем прямоугольного параллелепипеда.Объем прямой призмы.Объем цилиндра.Объем наклонной призмы.Объем пирамиды.Объем конуса.Применение.Вывод.Источники информации.

История изучения объемов тел: Начало геометрии было положено в древности при решении чисто практических задач. Со временем, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилось потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Постепенно создавалась геометрическая наука. Примерно в VI - V вв. до н. э. в Древней Греции в геометрии начался новый этап развития, что объясняется высоким уровнем, которого достигла общественно-политическая и культурная жизнь в греческих государствах.

Архимед      В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для определения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды. Определять объем призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки и до Архимеда. И только он нашел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам Архимед определил с помощью своего метода площади и объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. Он вывел, что объем шара, составляет две трети от объема описанного около него цилиндра. Он считал это открытие самым большим своим достижением.

История измерения объемов тел: В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид. В III тысячелетии до н.э. египтяне сооружали ступенчатые пирамиды, сложенные из каменных блоков; позже египетские пирамиды приобрели геометрически правильную форму, например пирамида Хеопса, высота которой достигает почти 147м, и др. Внутри пирамид находились погребальные склепы и коридоры.

Демокрит        Согласно Архимеду, еще в V до н.э. Демокрит из Абдеры установил, что объем пирамиды равен одной трети объема призмы с тем же основанием и той же высотой.

Евклид Полное доказательство этой теоремы дал Евдокс Книдский в IV до н.э.

      Теоремы Евклида       Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде кубов, призм и цилиндров египтяне и вавилоняне, китайцы и индийцы вычисляли путем умножения площади основания на высоту. Однако древнему Востоку были известны в основном только отдельные правила, найденные опытным путем, которыми пользовались для нахождения объемов для площадей фигур. В более позднее время, когда геометрия сформировалась как наука, был найден общий подход к вычислению объемов многогранников.        Евклид не применяет термина “объем”. Для него термин “куб”, например, означает, и объем куба. В ХI книге “Начал” изложены среди других и теоремы следующего содержания.Параллелепипеды с одинаковыми высотами и равновеликими основаниями равновелики. Отношение объемов двух параллелепипедов с равными высотами равно отношению площадей их оснований.

Понятие объема:        Объем — это вместимость геометрического тела, т. е. части пространства, ограниченной одной или несколькими замкнутыми поверхностями. Вместимость или емкость выражается числом заключающихся в объеме кубических единиц. Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей. При выбранной единице измерения объем каждого тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объемов и частей единицы содержится в данном теле. Ясно, что число, выражающее объем тела, зависит от выбора единицы измерения объемов, и поэтому единица измерения объемов указывается после этого числа. Например, если в качестве единицы измерения объемов взят 1см3 и при этом объем V некоторого тела оказался равным 2, то пишут V = 2 см3.

Объемом тела называется положительная величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и обладающая следующими свойствами: равные тела имеют равные объемы; при параллельном переносе тела его объем не изменяется; если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей; за единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины;

Свойства объемов тел: Объем тела есть неотрицательное число; Если геометрическое тело составлено из геометрических тел, не имеющих общих внутренних точек, то объем данного тела равен сумме объемов тел его составляющих; Объем куба, ребро которого равно единице измерения длины, равен единице; Равные геометрические тела имеют равные объемы. Следствие. Если тело имеет объем V1 и содержится в теле, имеющем объем V2, то V1 < V2.

Объем куба: V=a³

Объем прямоугольного параллелепипеда: Для того чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами a, b, c докажем, что объемы двух прямоугольных параллелепипедов с равными основаниями относятся как их высоты. Пусть P и P1 – два прямоугольных параллелепипеда с общим основанием ABCD и высотами AE и AE1. Будем считать для определенности, что AE1 < AE. Пусть V и V1 – объемы параллелепипедов. Разобьем ребро AE параллелепипеда P на большое число n равных частей. Каждая из них равна AE/n. Пусть m – число точек деления, которые лежат на ребре AE1. Тогда Отсюда Проведем через точки деления плоскости, параллельные основанию. Они разобьют параллелепипед P на n равных параллелепипедов. Каждый из них имеет объем V/n. Параллелепипед P1 содержит первые m параллелепипедов, считая снизу, и содержится в m+1 параллелепипедах. Поэтому Отсюда Так как V1/V и AE1/AE заключены между m/n и m/n + 1/n, то они отличаются не более чем на 1/n. А так как n можно взять сколь угодно большим, то это может быть только при что и требовалось доказать. Возьмем теперь куб, являющийся единицей измерения объема, и три прямоугольных параллелепипеда с измерениями: a, 1, 1; a, b, 1; a, b, c. Обозначим, их объемы V1, V2 и V соответственно. По доказанному Перемножая эти равенства почленно, получим: V=abc.

Примеры из жизни:

Объем прямой призмы: Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту: V  =  SH . Доказательство :Пусть ABCA 1 B 1 C 1 – прямая треугольная призма, причем ее основание – прямоугольный треугольник ABC (чертеж 6.1.1). Дополним эту призму до прямоугольного параллелепипеда ACBDA 1 C 1 B 1 D 1. Середина O диагонали AB 1 этого параллелепипеда является его центром симметрии. Данная призма и призма ABDA 1 B 1 D 1, которая дополняет данную призму до параллелепипеда, симметричны относительно точки O , а поэтому равновелики. Пусть V и V 1 – соответственно объемы призмы ABCA 1 B 1 C 1 и параллелепипеда, тогда получим V=SABCCC1=SоснH

Объем цилиндра: Данное тело имеет объем V, если существуют содержащие его простые тела и содержащиеся в нем простые тела с объемами, сколь угодно мало отличающимися от V. Найдем объем цилиндра с радиусом основания R и высотой H. Построим две прямые призмы с высотой H такими, что основание одной призмы является n-угольник, содержащий круг, а основание второй призмы n-угольник, содержащийся в круге. Тогда первая призма содержит цилиндр, а вторая призма содержится в цилиндре. При неограниченном увеличении n площади многоугольников приближаются к площади круга S(основанию цилиндра) и, следовательно, их объемы неограниченно приближаются к SH. Тогда

Примеры из жизни:

Объем наклонной призмы:   Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.          Доказательство. Пусть площадь основания призмы равна S, а ее высота Н. Поместим начало системы координат в одной из вершин верхнего основания призмы, а ось Ох направим перпендикулярно плоскости основания призмы . Сечение призмы плоскостью, перпендикулярной оси Ох, равно основанию призмы, следовательно,

Объем пирамиды: Объем любой пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту:  V=1/3SH

Примеры из жизни:

Объем конуса: Объем конуса вычисляется по формуле где R — радиус основания конуса, H -- его высота

Примеры из жизни:

Применение: Формулы объемов тел широко применяются в строительстве

Объем цилиндра :V= ПR^2H 

V=1/3ПR^2HОбъем конусаОбъем параллелепипеда V=SH

Вывод: 1.Объем куба равен кубу его ребра: V=a³ 2.Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений:  V=abc.3. Объем  прямого параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту: V=SH 4. Объем  произвольного  параллелепипеда равен произведению площади основания на его высоту: V=SH 5.  Объем призмы равен произведению площади основания на высоту: V=SH6. Две треугольные пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы:   V1′ = V2′ 7.  Объем любой треугольной пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту:  V=1/3SH8. Объем любой пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту:  V=1/3SH9.  Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:  V= ПR^2H 10. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:  V=1/3ПR^2H11.  Объем усеченного конуса равен V=1/3 H(R^2+Rr+r^2), где R  и r  – радиусы оснований усеченного конуса.12.  Для подобных фигур на плоскости, имеющих площадь, верна теорема: отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Для подобных пространственных тел, имеющих объем, верна аналогичная теорема: отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.

Источники информации: Учебник геометрии 11класс. Авторы:Л.С.Атанасян,В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев.http://e-science.ru/http://www.freesession.ru/http://festival.1september.ru/

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!!