Презентация на тему: Диофант и его уравнения

Диофант и его уравнения Автор: Потапова Софья10 класс, МОУ гимназия № 63Научный руководитель:Багина Татьяна Александровна,учитель математики высшей категории

научиться решать диофантовы уравнения и задачи, сводящиеся к ним умение решать диофантовы уравнения полезно не только при подготовке к математическим олимпиадам, они также могут описывать и бытовые ситуации, встречающиеся на нашем жизненном пути.

познакомиться с теоретическим блоком, связанным с Диофантом и его уравнениями;классифицировать диофантовы уравнения;научиться решать уравнения в целых числах несколькими способами и классифицировать методы;сделать выводы;создать приложение, в которое будет входить подборка разных задач;

АнализКлассификацияНаблюдениеОбобщениеДиофантовы уравнения

Практическая значимость моей работы заключается в использовании ее на углубленных занятиях по математике, при подготовке к математическим олимпиадам и к ЕГЭ.

Мудрым искусством его скажет усопшего век.Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком,И половину шестой встретил с пушком на щеках.Только минула седьмая, с подругою он обручился.С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил,Отнят он был у отца ранней могилой своей.Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Пусть Диофант прожил x лет. Составим и решим уравнение:

Умножим уравнение на 84, чтобы избавиться от дробей: Таким образом, Диофант прожил 84 года.

Неопределенные уравнения I – ой степени и их решения ax + by = с ax + by + cz = d

Метод перебораМетод «спуска»

Рассмотрим уравнение:4,5х + 6у = 57.Нужно найти все натуральные значения переменных х и у.

Помножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробных чисел , получим:9х + 12у = 114. Выразим у через х:

Метод «Спуска» Даны два автомобиля Урал 5557, автомобили отправили в рейс Мыс Каменный – Лабытнанги - Мыс Каменный. Всего понадобилось 4 т дизельного топлива и 2 водителя, чтобы выполнить этот рейс. Нужно определить транспортные затраты, а именно стоимость 1 т дизельного топлива и оплату труда водителей, выполняющих этот рейс, если известно, что всего затрачено 76000 р.

Решение Пусть х – стоимость 1 т дизельного топлива, а у – оплата труда водителей. Тогда 4х + 2у – затрачено на выполнение рейса. А по условию задачи затрачено 76000 р. Получим уравнение: Выразим переменную у через х:

Выделив целую часть, получим: Чтобы значение дроби было целым числом, нужно, 2х было кратно 4. Т.е. 2х = 4z, где z - целое число. Отсюда:

Значение х подставим в выражение (1): Итак:

, то 19000 следовательно, Т.к. целые значения от 0 до придавая z получим следующие значения x и y:

Если х = 18000, у = 10000, то z = 9000,проверим:

ах + by + cz =d 1.) При трех коэффициентах a, b и c может возникнуть, по крайней мере, два взаимнопростых коэффициента. Например: В данном примере коэффициенты a и b взаимнопросты. 2.) Каждые два коэффициента имеют общий множитель, но все три взаимнопросты. Например: Здесь коэффициенты a и b имеют общий множитель 3, b и c – множитель 5, a и c – 4 и все три коэффициента

Дана однокомнатная квартира.Стоимость содержания жилья на 1 м2 составляет 8 р. Стоимость теплоэнергии на 1 м2 равна 33 р. Стоимость 1 м3 воды на человека – 16 р. Какую площадь имеет квартира. Какая площадь отапливается в этой квартире.Норматив потребления воды на человека в течение месяца.Если известно, чтов квартплате за месяц всего начислено 1416 р.

Обозначим переменными: x - количество кв. м в квартире, y – количество кв. м в квартире, которым отведена теплоэнергия, а z – количество воды (м3), потребляемое на человека. Тогда 8x + 33y + 16z - всего начислено в квартплате за месяц. А по условию задачи, всего начислено 1416 р. Получим уравнение:

Выразим x: Выделив целую часть уравнения, получим:

Пусть выражение будет целым, чтобы коэффициент x тоже был целым. Заменим это выражение на t :

Теперь подставим значение y в уравнение X = 177 – 4y – 2z – t: Значит

Придавая z и t произвольные целые значения, получим решение исходного уравнения:

В ходе данного исследования я овладела новыми математическими навыками, научилась решать диофантовы уравнения разными методами. На примерах показала, что умение решать диофантовы уравнения полезно не только при подготовке к математическим олимпиадам, они также могут описывать и бытовые ситуации, встречающиеся на нашем жизненном пути.