Презентация на тему: Алгебра высказываний

ОСНОВЫ ЛОГИКИ АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ Автор: Алексеева Тамара Юрьевна, учитель информатики МОУ «СОШ №1 п. Пурпе»

СОДЕРЖАНИЕ Введение. Логическая операция конъюнкция. Логическая операция дизъюнкция. Логическая операция инверсия. Логическая операция импликация. Логическая операция эквиваленция. Конец.

АЛГЕБРА в широком смысле этого слова – наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над различными математическими объектами (алгебра переменных и функций, алгебра векторов, алгебра множеств и так далее). Объектами алгебры логики являются высказывания.

Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний. Ее интересует только один факт – истинно или ложно данное высказывание, что дает возможность определять истинность или ложность составных высказываний алгебраическими методами.

Простые высказывания в алгебре логики обозначаются заглавными буквами А = {Аристотель – основоположник логики} В = {На яблонях растут бананы} Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному – 0. Таким образом, А = 1, В = 0.

Составные высказывания на естественном языке образуются с помощью союзов, которые в алгебре высказываний заменяются на логические операции. Логические операции задаются таблицами истинности.

Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение) В естественном языке соответствует союзу и В алгебре высказываний обозначается & В языках программирования обозначается and

Конъюнкция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Пример. Даны высказывания. Определите истинность каждого из них. А = {10 делится на 2 и 5 не больше трех} В = {10 не делится на 2 и 5 больше трех} С = {10 делится на 2 и 5 больше трех} D = {10 не делится на 2 и 5 не больше трех} А = 1 0 = 0 В = 0 1 = 0 С = 1 1 = 1 D = 0 0 = 0

Таблица истинности

Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение) В естественном языке соответствует союзу или. В алгебре высказываний обозначается В языках программирования обозначается or.

Дизъюнкция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

Пример. Даны высказывания. Определите истинность каждого из них. А = {10 делится на 2 или 5 не больше трех} В = {10 не делится на 2 или 5 больше трех} С = {10 делится на 2 или 5 больше трех} D = {10 не делится на 2 или 5 не больше трех} A = 1 0 = 1 B = 0 1 = 1 C = 1 1 = 1 D = 0 0 = 0

Таблица истинности

Логическая операция ОТРИЦАНИЕ(инверсия) В естественном языке соответствует частице не. В алгебре высказываний обозначается А, А В языках программирования обозначается not

Отрицание – это логическая операция, которая каждому простому истинному высказыванию ставит в соответствие ложное высказывание.

Пример А = {Луна – спутник Земли} А = {Луна – не спутник Земли}

Таблица истинности

Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ(логическое следование) В естественном языке соответствует обороту если …, то … . В алгебре высказываний обозначается → В языках программирования не используется

Импликация – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.

Пример. Даны высказывания. А = {Данный четырехугольник - квадрат} В = {Около данного четырехугольника можно описать окружность} Рассмотрим составное высказывание А → В , понимаемое как «если данный четырехугольник – квадрат, то около него можно описать окружность». Есть три варианта, когда высказывание А → В истинно

А истинно и В истинно, т. е. если данный четырехугольник – квадрат, то около него можно описать окружность; А ложно и В истинно, т. е. если данный четырехугольник не является квадратом, то около него можно описать окружность; А ложно и В ложно, т. е. если данный четырехугольник не является квадратом, то около него нельзя описать окружность; Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, т. е. если данный четырехугольник – квадрат, то около него нельзя описать окружность.

В обычной речи связка «если …, то» описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смеяться над бессмысленностью импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими: «если президент США – демократ, то в Африке водятся жирафы» или «если арбуз ягода, то в бензоколонке есть бензин»

Таблица истинности

Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ(равнозначность) В естественном языке соответствует оборотам речи тогда и только тогда; в том и только в том случае В алгебре высказываний обозначается В языках программирования не используется

Эквиваленция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или ложны.

Пример. Определить истинность высказываний. А = {24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3} А = 1 1 = 1 В = {23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3} В = 0 0 = 1 С = {24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5} С = 1 0 = 0 D = {21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3} D = 0 1 = 0

Таблица истинности

спасибо за внимание и активную работу!

Используемая литература и ссылки изображений Информатика и ИКТ. Базовый уровень: учебник для 11 класса/ Н.Д. Угринович. – 3-е изд. – М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.