Презентация на тему: Геометрия «Подобные треугольники»

Подобные треугольники. Геометрия, 8 класс. 5klass.net

Урок 32. Пропорциональные отрезки. Рассмотрим пропорцию: Отрезки называются пропорциональными, если равны отношения их длин. К Е Н Х А В Р Т Решение задач: № 533 (устно) № 534.

Свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. А В С К Решение задач: № 536(а), 538. Домашнее задание: п.56, № 536(б), 537.

Урок 33. Подобные треугольники. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, и стороны од- ного треугольника пропорциональны соответ- ствующим сторонам другого треугольника. где k – коэффициент подобия. Говорят, что ∆АВС ~ ∆МРК А В С М Р К

№ 541. А В С D E F 106 34 106 40 4,4 5,2 7,6 15,6 22,8 13,2 Решение задач: № 542. Домашнее задание: п.56-57, № 540.

Урок 34. Теорема об отношении площадей подобных треугольников. ТЕОРЕМА. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. где k – коэффициент подобия. Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия. А В С М Р К Решение задач: № 545, 549. Домашнее задание: п. 56-58, № 544, 548.

Урок 35. Первый признак подобия треугольников. А В С А1 В1 С1 ТЕОРЕМА. Если 2 угла одного треугольника равны соответственно двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Доказательство: Так как углы А=А1 и С=С1, то угол В=В1. Так как угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих эти углы. Следовательно, ∆АВС ~ ∆А1В1С1

№ 550. 8 12 а а 6 x y 20 8 10 Домашнее задание: п. 59, № 553, 561.

Урок 36. Первый признак подобия треугольников. № 551(а) A B C D E F 10 4 8 ? ? 7

№ 552(а) A B C D O 25 10 4

№ 557(в). A B D C E 12 Домашнее задание: стр.160, вопросы 1-5, п.56-59, №552(в).

Урок 37. Второй признак подобия треугольников. ТЕОРЕМА. Если 2 стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны. Доказательство: Достаточно доказать, что углы С = С1. Рассмотрим ∆АВ2С, у которого углы 1=А1, 2=С1. ∆А1В1С1 ~∆АВ2С по 2 углам, следовательно Значит АВ2 = АВ и ∆АВ2С = ∆АВС по 2 сторонам и углу между ними => угол С=2, но угол 2=С1 => угол С1 = С => ∆А1В1С1 ~∆АВС по 2 углам Самостоятельная работа: стр.120, вариант А1,А2, №1. А1 В1 С1 А В С В2 1 2

Задача 1. D B O A C 5 9 6 15 12 ?

Задача 2. D C O B A 15 5 1 часть 3 части ? ? Домашнее задание: п. 59, 60, № 559.

Задача. А В С К Р М Стороны треугольника АВС в 2,5 раза больше сторон треугольника КРМ, углы В = Р, АС + КМ = 4,2. Найти АС и КМ.

Урок 38. Третий признак подобия треугольников. ТЕОРЕМА. Если 3 стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Доказательство: Достаточно доказать, что углы А = А1. Рассмотрим ∆АВ2С, у которого углы 1=А1, 2=С1. ∆А1В1С1 ~∆АВ2С по 2 углам, следовательно Но мы знаем, что Значит АВ2 = АВ, СВ2=СВ и ∆АВ2С = ∆АВС по 2 сторонам и углу между ними => угол А=1, но угол 1=А1 => угол С1 = С => ∆А1В1С1 ~∆АВС по 2 признаку А1 В1 С1 А В С В2 1 2

Задачи. Подобны ли ∆АВС и ∆КРМ, если АВ = 1м, АС = 2м, ВС = 1,5 м, КР = 8 дм, КМ = 16 дм, РМ = 12 дм. Стороны треугольника равны 0,8 м, 1,6 м, 2 м. Найти стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 5,5 м. Домашнее задание: п. 59-61, № 560.

Математический диктант. Третий признак подобия треугольников. Второй признак подобия треугольников. У двух треугольников по одному равному углу. Какого условия недостает, чтобы треугольники были подобны по 1 признаку? Стороны одного треугольника равны 3 см, 6 см и 7 см, а 2 стороны подобного ему треугольника равны 15 см и 35 см. Найти третью сторону. Соответствующие катеты двух подобных треугольников 6 дм и 18 дм. Найти гипотенузу меньшего треугольника, если гипотенуза большего 27 дм. Первый признак подобия треугольников. Третий признак подобия треугольников. У двух треугольников по одному равному углу. Какого условия недостает, чтобы треугольники были подобны по 2 признаку? Соответствующие катеты двух подобных треугольников 5 дм и 10 дм. Найти гипотенузу большего треугольника, если гипотенуза меньшего 7 дм. Стороны одного треугольника равны 15 см, 35 см и 30 см, а 2 стороны подобного ему треугольника равны 6 см и 7 см. Найти третью сторону.

Ответы. По 3 пропорциональ-ным сторонам. По 2 пропорциональ-ным сторонам и углу между ними. Пара равных углов. 30 см. 9 дм. По 2 равным углам. По 3 пропорциональным сторонам. Пропорциональность сторон угла. 14 дм. 3 м.

Подобие прямоугольных треугольников. Два прямоугольных треугольника подобны, если: У них есть по равному острому углу. Катеты одного треугольника пропорциональны катетам другого треугольника. Гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого треугольника.

Задача. A B C D O 18 12 15 10 Доказать, что ABCD – трапеция.

№ 554. A B M C D 8 3,6 3,9 5 Домашнее задание: п. 59-61, Стр. 160, вопросы 1-7, задача Задача. Продолжение боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Найти стороны ∆АЕD, если АВ = 5 см, ВС = 10 см, АD = 15 см, СD = 8 см.

Урок 39. Средняя линия треугольника. ТЕОРЕМА. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Доказательство: ∆АВС ~ ∆КВР, так как угол В-общий, а стороны АВ и КВ, СВ и РВ пропорциональны => угол А=ВКР, но это соответственные углы => КР ll АС. А В С К Р Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. ТЕОРЕМА. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение задач. № 564. № 570. 8 7 5 А В С D M O 18 Домашнее задание: п. 62, № 566.

Математический диктант. Две стороны треугольника соединили отрезком, непараллельным третьей стороне. Является ли этот отрезок средней линией треугольника? Сторона АВ ∆АВС равна 6 см. Чему равна средняя линия треугольника, параллельная этой стороне? Точки М, Р и О – середины сторон ∆АВС. Найти стороны ∆АВС, если стороны ∆МРО равны 3 см, 4 см и 5 см. Концы отрезка АВ лежат на двух сторонах треугольника, а длина этого отрезка равна половине третьей стороны. Обязательно ли этот отрезок является средней линией треугольника? Точки А и В являются серединами двух сторон треугольника. Как называется отрезок АВ? Средней линией ∆АВС, параллельная стороне ВС, равна 4 см. Найти сторону ВС. Точки А, В, С – середины сторон ∆МРО. Найти периметр ∆АВС, если отрезки МР, РО и МО равны 3 дм, 4 дм и 5 дм. Концы отрезка КР лежат на двух сторонах треугольника, он параллелен третьей стороне треугольника и равен ее половине. Является ли КР средней линией?

Ответы. Нет Средняя линия 24 см Нет Средняя линия 8 см 6 дм Нет

Задачи. Дано: РАВС= 12 см Найти: РМРО А В С М Р О 2. Дано: AD=2BC, MB=MK, NC=NK, BC=6 см Найти PQ A P B C Q D M N 6 3. Дано: АС=10см, BD=8см Найти РMNPK A B C D K M N P

Урок 40. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Признак подобия прямоугольных треугольников. Два прямоугольных треугольника подобны, если у них есть по равному острому углу. Отрезок XY называется средним пропорциональным (средним геометрическим) для отрезков АВ и CD, если Свойство 1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Свойство 2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. А С В Н Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на 2 подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. с bc ac a b h

Решение задач: № 572, 575, 577. Домашнее задание: стр.160, вопросы 8-11, принести циркуль, № 576, 578-в общую тетрадь. Проверочная работа. стр. 124, вариант А1, А2, задачи 1, 2.

Урок 42. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. А В С Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему. Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла. α β

Основное тригонометрическое тождество. Решение задач: № 591(а,б), 592(а,в,д), 593(а,в). Домашнее задание: п.66, № 593(б,г), 592(б,г,е), 591(в,г).

Урок 43. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°. А В С 30° 60°

Урок 43. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°. А В С 45° Пусть АС = ВС = а, тогда а а

Решение задач. Найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с основанием 10 см и углом при основании 45°. Найти катеты прямоугольного треугольника, гипотенуза которого 2 см, один из острых углов 30°. В треугольнике АВС угол А=45°, угол С=60°, ВС=2 см. Найти АС. № 600. Домашнее задание: п. 66, 67, № 602.

Контрольная работа № 4. Средняя линия равнобед-ренного треугольника, параллельная боковой стороне, равна 13 см, а медиана, проведенная к основанию - 24 см. Найти среднюю линию, парал-лельную основанию треугольника. Найти sin α и tg α, если cosα=8/17. Найти синус, косинус тангенс большего острого угла прямоугольного треугольника с катетами 7 см и 24 см. Средняя линия равнобед-ренного треугольника, параллельная основанию, равна 16 см, а биссект-риса, проведенная к основанию - 30 см. Найти среднюю линию, парал-лельную боковой стороне треугольника. Найти cos α и tg α, если sinα=5/12. Найти синус, косинус тангенс меньшего острого угла прямоугольного треугольника с катетом 40 см и гипотенузой 41 см.