Презентация на тему: Геометрия «Задачи на построение»

Задачи на построение. Учитель: Иванова Татьяна Сергеевна 5klass.net

Цель: Изучить какие задачи относятся к задачам на построение. Показать учащимся построение некоторых простейших фигур с помощью циркуля и линейки.

Что такое задачи на построение. В задачах на построение идет речь о построении геометрической фигуры с помощью данных чертежных инструментов. Такими инструментами чаще всего являются линейка и циркуль. Решение задачи состоит не столько в построении фигуры, сколько в решении вопоса о отм, как это сделать, и соответствующем доказательстве. Задача считается решенной, если указан способ построения фигуры и доказано, что в результате выполнения указанных построений действительно получается фигурв с требуемыми свойствами.

Какие бывают задачи на построение? Построение треугольника с данными сторонами. Построение угла, равного данному. Построение биссектрисы угла. Деление отрезка пополам. Построение перпендикулярной прямой.

Построение треугольника с данными сторонами. Надо: построить треугольник с данными сторонами. Анализ Построение 1. С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на ней произвольную точку В . 2. Раствором циркуля, равным c, описываем окружность с центром B и радиусом c. Пусть А – точка её пересечения с прямой. В 3. Раствором циркуля, равным b, описываем окружность из центра А. 4. Раствором циркуля, равным а, описываем окружность из центра В. 5. Пусть точка С – точка пересечения этих окружностей. С . 6. Проведем отрезки ВС и АС. Треугольник АВС имеет стороны, равные a, b, c.

Построение угла, равного данному. Дано: полупрямая , угол Построение В . . С Надо: отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу. 1. Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла. 2. Пусть В и С – точки пересечения окружности со сторонами угла. 3. Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О – начальной точке данной полупрямой. 4. Точку пересечения этой окружности с данной полупрямой обозначим В1 5. Опишем окружность с центром В1 и радиусом ВС. 6. Точка С1 пересечения построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла. 7. Для доказательства достаточно заметить, что треугольники АВС и ОВ1С1 равны как треугольники с соответственно равными сторонами. Углы А и О являются соответствующими углами этих треугольников. О С1 В1 А

Построение биссектрисы угла. Дано: угол Надо: построить его биссектрису. Построение 1. Из вершины А данного угла как из центра описываем окружность любого радиуса. 2. Пусть точки В и С – точки её пересечения со сторонами угла. . В . С А 3. Из точек В и С тем же радиусом описываем окружности. 4. Пусть D – точка пересечения, отличная от А. Проводим полупрямую AD. . D 5. Луч AD является биссектрисой, так как делит угол ВАС пополам. Это следует из равенства треугольников ABD и ACD , у которых углы DAB и DAC являются соответствующими.

Деление отрезка пополам. Дано: отрезок АВ. . . А В Надо: разделить отрезок пополам. Построение 1. Из точек А и В радиусом АВ описываем окружность. 2. Пусть точки С и С1 – точки пересечения этих окружностей. Они лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АВ. С С1 . . 3. Отрезок СС1 пересекает прямую АВ в некоторой точке О. Эта точка есть середина отрезка АВ. . О 4. Действительно, треугольники САС1 и СВС1 равны по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда следует равенство углов АСО и ВСО. Треугольники АСО и ВСО равны по первому признаку равенства треугольников. Стороны АО и ВО этих треугольников являются соответствующими, а поэтому они равны. Таким образом, О – середина отрезка АВ.

Построение перпендикулярной прямой. Дано: прямая, точка О. Надо: провести перпендикуляр к прямой через точку О. 1-й случай: точка О лежит на прямой. . О 1. Из точки О любым радиусом описываем окружность. Она пересекает прямую в точках А и В. Построение . . А В 2. Из точки А и В радиусом АВ описываем окружности. Они пересекаются в точке С (выбираем одну полуплоскость). . С 3. Перпендикулярность прямых ОС и АВ следует из равенства углов при вершине О треугольников АСО и ВСО. Эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.

2 –й случай: точка О лежит вне прямой. 1. Из точки О проводим окружность, пересекающую прямую. Точки А и В – точки пересечения. Построение .О А. .В 2. Из точек А и В тем же радиусом проводим окружности. Точка О1 – точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка О. .О1 3. Искомая прямая проходит через точки О и О1 . 4. Докажем это. Обозначим через С точку пересечения прямых АВ и ОО1. Треугольники АОВ и АО1В равны по третьему признаку. Поэтому угол ОАС равен углу О1АС. А тогда треугольники ОАС и О1АС равны по первому признаку. Значит, их углы АСО и АСО1 равны. А так как они смежные, то они прямые. Таким образом, ОС – перпендикуляр, опущенный из точки О на прямую. .С

Список литературы: Учебник «Геометрия 7 - 9», Атанасян Л.С. Москва «Просвещение» 2006г