Презентация на тему: Приращение функции
Приращение аргумента. Приращение функции. МБОУ лицей №10 города Советска Калининградской области учитель математики Разыграева Татьяна Николаевна 900igr.net
При сравнении значения функции f в некоторой фиксированной точке x₀ со значениями этой функции в различных точках x, лежащих в окрестности x₀, удобно выражать разность f(x) – f(x₀) через разность x – x₀, пользуясь понятиями «приращение аргумента» и «приращение функции». Пусть x – произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки x₀. Разность x – x₀ называется приращением независимой переменной ( или приращением аргумента) в точке x₀ и обозначается Δx. Таким образом, Δx = x –x₀ откуда следует, что x = x₀ + Δx.
Говорят также, что первоначальное значение аргумента x₀ получило приращение Δx. Вследствие этого значение функции f изменится на величину f(x) – f(x₀) = f (x₀ +Δx) – f(x₀). Эта разность называется приращением функции f в точке x₀, соответствующим приращению Δx, и обозначается символом Δf (читается «дельта эф»), т.е. по определению Δf = f (x₀ + Δx) – f (x₀) откуда f (x) = f (x₀ +Δx) = f (x₀) + Δf.
При фиксированном x₀ приращение Δf есть функция от Δx. Δf называют также приращением зависимой переменной и обозначают через Δy для функции y = f(x) . Пример №1. Найти приращение функции функции у = х² при переходе от точки х₀ = 1 к точкам : а) х = 1,1; б) х = 0,98 Решение: а) f(1) = 1² = 1; f(1,1) = 1,1² = 1,21; y = f(1,1) - f(1) = 1,21 – 1 = 0,21 Δy= f (x₀ + Δx) – f (x₀) б) f(1) = 1; f(0,98) = 0,98² = 0,9604; y = f(0,98) - f(1) = 0,9604 – 1 = - 0,0396.
Функция y = f(x) непрерывна в точке х = а, если в точке х = а выполняется следующее условие: если х 0, то у 0. Пример № 2. Для функции y = kx + m найти: а) приращение функции при переходе от фиксированной точки х к точке х + х; б) предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Решение.
Имеем: f(x) = kx + m f(x + x) = k(x + x) + m y = f(x + x) – f(x) = (k(x + x) + m) – (kx + m) y = (kx + k x + m) – (kx + m) = k· x. y = k· x. Имеем:
M x y = kx + m x f(x) y P x + x y 0 x
Пример № 3. Для функции y = x² найти: а) приращение функции при переходе от фиксированной точки х к точке х + х; б) предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Решение. Имеем: f(x) = x² f(x + x) = (x + x)² y = f(x + x) – f(x) = (x + x)² - x² = = (x² + 2x x + ( x)²) - x² = 2x x + ( x)². Получили: y = 2x x + ( x)².
Итак, для заданной функции y = x² получили:
