Презентация на тему: Понятие модуля числа

Проект: « Модуль числа» Выполнил ученик 7 кл Кинделинской СОШ: Карпушкин Евгений 2011 год Руководитель: Карпушкина Г.В. учитель математики. 5klass.net

Цель проекта: Формирование понятия модуля и умения выполнять действия с ними.

Задачи проекта: Определить значимость темы «Модуль» в математике. Углубить теоретические знания по решению упражнений с модулем; Оформление пособия исследовательской деятельности при решении задач с модулями; Составить пособие нестандартных задач с модулями.

Этапы работы над проектом: 1-й погружение в проект; 2-й организация деятельности; 3-й выпуск пособия «Решение упражнений с модулем »; 4-й презентация результатов

Паспорт учебного проекта: Тема: «Модуль числа» Предмет: математика Класс: 7 - 8 Тип проекта:  монопредметный, практико - ориентированный Форма работы: внеурочная

Цели: 1. Развивать умение исследовать, проектировать в процессе анализа решения уравнения или неравенства с модулем; Развивать умение работать с информационными технологиями. 2. Выпустить пособие для школьников.

Мотивация: Основывается на интересе учащихся к данной теме, и их желании получить знания по теме «Модуль», умений решать уравнения и неравенства с модулем. Подготовка к ГИА.

Ход стратегических действий:  1 – подбор литературы ,введение, определении значимости модуля; 2– способы решения уравнений и неравенств с модулем, выпуск пособия; 3 – оформление материала, презетация.

Информационно-техническое обеспечение. 1. При работе с проектом использовался компьютер, дополнительная литература, услуги Интернета, подготовлены схемы решения уравнений и неравенств ; 2. Решение уравнения: а) график функции; б) умения работать с дополнительной литературой; в) умения проводить аналогию.

Предполагаемые результаты: Развитие: - самостоятельной работы с источниками информации; - умения решать упражнения с модулем - самостоятельности в принятии решений - коммуникативности; - проектирования, планирования, анализа.

Введение. Главной целью этого проекта является расширение и углубление знаний, развитие интереса к предмету, развитие математических способностей.

Значение проекта: Большую роль в развитии математического мышления играет изучение темы «Модуль числа». Вместе с тем изучению этой темы в школьной программе не уделено достаточно внимания, в 6 и 7 классах изучаются самые азы понятия модуля и действия с ними. Интерес к теме объясняется тем, что уравнения с модулем предлагаются на школьных экзаменах (на ГИА и ЕГЭ).

Что такое модуль? Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово , которое имеет множество значений и применяется не только в математике,  но и в физике, технике, программировании и других точных науках. В технике – это термин служит для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости. В физике - это модуль объемного сжатия, отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

Понятия и определения. Уравнение – это равенство, содержащее переменные. Уравнение с модулем – это уравнение, содержащее переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля). Например:  | х | = 1 Решить уравнение – это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет. Модуль – расстояние от начала отсчета до точки на числовой прямой.

Определение модуля числа. Модуль – это расстояние от начала отсчета до точки на числовой прямой. А это значит: Модуль числа а равен а, если а больше или равно нулю и равен –а, если а меньше нуля:                            а, если  а > 0;               | а |=                         - а, если  а < 0. Из определения следует, что для любого действительного числа а,   | а | > 0 и | -а |  =  | а |.

Примеры: │5│= 5 │2- 6│= - (- 4)=4 так как (2-6) – число отрицательное. │-8│= -(- 8 )= 8 так как (-8) – число отрицательное. │2-13│= -(-11)=11, так как (2-13) – число отрицательное.

Решение уравнений: ׀х׀ = а х = а, если а>0 или х = -а, если а

Заключение. И в заключении я хотел бы сказать, что для досконального  изучения материала исследовательская работа подходит лучше всего. Мне представилась возможность больше поработать с интересной, для меня, темой модуля и выйти за рамки того материала, который предоставляет нам учебник 7-го класса. Прочитав и изучив другую литературу, я узнал много нового и, как я считаю, важного для меня.

Продукт проекта Большое место в математике отведено решение упражнений по теме « Модуль числа». Интерес к теме объясняется тем, что уравнения с модулем предлагаются на школьных экзаменах и при подготовке к ГИА . С этой целью я подготовил методический сборник для углубленного изучения этого вопроса.

Итогом моего проекта являются: Мои умения работать с компьютерной техникой; Мои умения исследовательской работы; Изучение темы «Модуль» и выход за рамки школьного материала; Выпуск пособие по математике для учащихся 7 – 8 классов ,который поможет им при подготовке к ГИА.

Литература: 1.Уравнения и неравенства – Башмаков М. И. 2.Математика Васильев В.В., Соснина Л.И., 2004 год 3. Виленкин Н. Я., Сравнение чисел 4. Сайт http://schoolcollection.marsu.ru/catalog/rubr/eb116c4e-d5ac-41c4-948a-bb438ba.. 5.Сайт http://sandbox.openclass.ru/lessons/42384

МОУ «Кинделинская СОШ» Пособие по математике для учащихся 7 - 8 классов Модуль числа Автор : Ученик Кинделинской СОШ. Карпушкин Евгений . 2011 год.

Понятие модуля числа – Модуль (modulus) в переводе с латинского языка означает “мера, размер”. Модулем числа называют расстояние от точки, изображающей число на координатной прямой до начала отсчета.  | 6 | = 6, | – 6 | = 6 | – 3,5 | = 3,5; | 3,5 | = 3,5 | 0 | = 0 Т.к. модуль числа – это расстояние, он никогда не будет отрицательным  

Алгоритм нахождения модуля числа   Блок-схема    

  Отработка алгоритма

| 81 | = 81; | 1,3 | = 1,3; | – 5,2 | = 5,2; | 8/9 | = 8/9; | – 5/7 | = 5/7; | – 2 9/25 | = 2 9 /25; | – 52 | = 52; | 0 | = 0. | – 8 | – | – 5 | = 8 – 5 = 3 | – 10 | . | – 15 | = 10 . 15 = 150 | 240 | : | – 80 | = 240 : 80 = 3 | 0,1 | . | – 10 | = 0,1 . 10 = 1 Примеры:

Задание 1 1 Найти значения выражений (приготовить карточки): |-100| , |5+1,1| , |4,4- 8,9| , -|-9,7| , |5-16| 1 Найдите модуль числа _ 18 10 _ 16 9 2 4 2 Найдите положительное число модуль которого равен: 3 ; 5. 3. Известно,что |a|= 4 Чему равен |-a|? |a|= 4,6 Чему равен |-a|? |a|= 3,03 Чему равен |-a|? 4. Выберите из двух чисел, модуль которого меньше: -5 и 6 2 и -4 -2 и -3 5 Найдите значение выражения: |0,4| * |-2,5| |-40| * |0,1| |3,6| : |-1,2|

Задание 2  

Задание 3 4. Заполни таблицу:  самопроверка по образцу: за 1–2 ошибки – оценка “4”, если нет ошибок – оценка “5”. 5. Сравните: а) | – 8 | и | – 5 | б) | 12,3 | и |-11 | в) | 0 | и | –| 1,5 | х 285/17 8,3 -8,3 1,5 -1,5 -105 | х | | х |+12 | х | -1

Задание 4 Решите уравнение а) | х | = 2,5 б) | х | = 0 в) | х | = – 4 г) | а | + 9 = 9 д) | в | – 3 = 33 е) 12,5 – | а | = 10,3 Отметьте на координатной прямой точки, изображающие числа: а) модуль которых равен 7; б) модуль которых меньше 7; в) модуль которых больше 7.

Задание 5 |5х + 3| = 1 |2х - 3| = 1 |х - 5| + |2х –6| = 7 |х² + 3х| – |4 – х| = |х ²- х| 1 ≤ |2х – 1| ≤ 2 х² - 5|х| – 4 ≥ 0 |2х + 5| + |2х – 3| = 8 |х² + 2х| – |2 – х| = |х ²- х| 1 ≤ |3х – 2| ≤ 2 х² - 2|х| – 8 ≥ 0 |(3х + 1)(х – 3)| ≤ 3

Задание 6 Решить уравнения и неравенства |x|² - 4 = 0 | x|² - 4 < 0 3) |x|² - 4 > 0 |x|² - 3|x| ≥ 0 |x|² - 3|x| > 0 |x|² - 3|x| ≤ 0 |x|² - 3|x| < 0 В. x² - 2x + | x| = 0 x² - 2x + | x| < 0 x² - 2x + | x| > 0 |x² - 2x| + x = 0 |x² - 2x| + x < 0

Занимательная страница Все слова можно отгадать, если вдумчиво и внимательно читать рисунок          с с с о о и а а а о н е

Графическое решение уравнений Под простейшими функциями понимают алгебраическую сумму модулей линейных выражений. Сформулируем утверждение, позволяющее строить графики таких функций, не раскрывая модули ( что особенно важно, когда модулей достаточно много ): "Алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляет собой кусочно- линейную функцию, график которой состоит из n +1 прямолинейного отрезка. Тогда график может быть построен по n +2 точкам, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна -- произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней и последняя с абсциссой, большей большего из корней.

Задание 7 (решение) Построим графики функций y = |(x–1)(x–3)| и y=1–|x–4 | 1)в y = |(x–1)(x–3)| подставим значен дем пересечение с осью ОХ, для этого решим простое уравнение: 1-|x-4|=0 |x-4|=1 x - 4=1 или x - 4=-1 x=5 x=3 Следовательно данный график пересекает ось ОХ в точках 5 и 3. При х=4 у=1 и ак видно из графика: графики обеих функций пересекаются в одной точке 3 Ответ: 3

Геометрическая интерпритация (решение) |x – 1| + |x – 2|=1 с использованием геометрической интерпритации модуля. Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпритации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некторой точки абсцисс х до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка [1; 2] обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка- нет. Отсюда ответ: множеством решений уравнения является отрезок [1; 2]. Ответ: х [1; 2]

Построение графиков (решение) 1) f(x)=|x - 1| Вычисляя функции в точках 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из двух отрезков(рис.1) 2) f(x)=|x - 1| + |x – 2| Вычисляя значение функиции в точках с абсциссами 1, 2, 0 и 3, получаем график, состоящий из двух отрезков прямых.(рис.2) 3) f(x)=|x - 1| + |x – 2| + |x – 3| Для построения графика вычислим значения функции в точках 1, 2, 3, 0 и 4 (рис.3) 4) f(x)=|x - 1| - |x – 2| График разности строится аналогично графику суммы, то есть по точкам 1, 2, 0 и 3. См. рис1,2,3,4.

Рисунки: 1,2,3,4.

Построить графики квадратичных функций, содержащих модули. у = |x² - 5x + 6| = 0 |(x - 2)² - 3| = 0 |x² - 3| = 0 у = |x² - 7x + 10| = 0 |(x + 2)² - 4| = 0 |x² + 5| = 0