Презентация на тему: Функции алгебры логики

* Методы дискретного анализа в организационных системах. Алгоритмический подход. Институт проблем управления РАН, Физический факультет МГУ http://www.ipu.ru/ http://www.phys.msu.ru/rus/about/structure/div/div-experimental/chair-upravleniya/ http://www.orsot.ru/ Лазарев Александр Алексеевич 2009-2010 учебный год 900igr.net

* План Функции алгебры логики Элементы комбинаторики Элементы теории графов Три контрольные работы (в редакторе ТеХ, http://miktex.org/2.8/setup)

* Рекомендуемая литература 1. Журавлёв Ю.И., Флёров Ю.А. Дискретный анализ. Часть I: Учебное пособие. – М.: МФТИ, 1999. 2. Стэнли Р. Перечислительная комбинаторика. -М.: Мир, 1990. 3. Липский В. Комбинаторика для программистов. - М.: Мир, 1988. 4. Рыбников К.А. Введение в комбинаторный анализ. - М.: МГУ,1985. 5. Гаврилов Г.И., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по курсу дискретной математики. -М.: Наука, 1992. 6. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. - М.: ИЛ, 1963. 7. Холл М. Комбинаторика. - М.: Мир, 1970. 8. Мендельсон Э. Введение в математическую логику.- М.: Наука, 1976. 9. Дискретная математика и математические вопросы кибернетики/ Под ред. С.В.Яблонского, О.В.Лупанова, Т.1, -М.; Наука, 1974. 10. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. -М.: Наука, 1986. 11. Оре О. Теория графов. - М.: Наука, 1968. 12. Кристофидис Н. Теория графов. Алгоритмический подход. -М.: Мир, 1987. 13. Емеличев В.А., Мельников О.И. и др. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990. 14. Уилсон Р.Дж. Введение в теорию графов. - М.: Мир, 1977. 15. Харари Ф. Теория графов. - М.: Мир,1973. 16. Журавлёв Ю.И., Флёров А.А., Федько О.С., Дадашев Т.М. Сборник задач по дискретному анализу. – М.: МФТИ, 2000. 17. Гжегорчик А. Популярная логика.- М.: Наука, 1979. 18. Леонтьев В.К. Избранные задачи комбинаторного анализа. – М. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 19. Лазарев А.А. Теория расписаний. Оценки абсолютной погрешности и схема приближённого решения задач теории расписаний: Учебное пособие. – М.: МФТИ, 2008. 20. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. – М.: Мир. – 1982. 21. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ. – М. – 2005. 1293 с.

* Функции алгебры логики Джордж Буль (1815-1864) “Математический анализ логики, являющийся очерком, касающимся исчисления дедуктивных рассуждений”, (1847 г.), “Исследования законов мысли. на которых основываются математические теории логики и вероятностей”, (1854 г.). Аугустус (Огастес, Август) де Морган (1806-1871) “Формальная логика или исчисление выводов, необходимых и возможных” (1847 г.).

* БУЛЬ, ДЖОРДЖ (Boole, George) (1815-1864), английский математик. Родился 2 ноября 1815 в Линкольне. В возрасте 16 лет стал помощником учителя частной школы в Донкастере, в 1835 открыл собственную школу в Линкольне. В свободное время читал математические журналы, работы И.Ньютона, П.Лапласа и Ж.-Л.Лагранжа, начал вести самостоятельные алгебраические исследования. В 1839 написал первую научную работу Исследования по теории аналитических преобразований (Researches on the Theory of Analytical Transformations), которая была опубликована "Кембриджским математическим журналом" ("Cambridge Mathematical Journal"). В 1844 появилась его первая работа, где высказывалась идея объединения алгебры и логики, а в 1847 вышла в свет статья Математический анализ логики (The Mathematical Analysis of Logic), которая положила начало созданию "алгебры высказываний", получившей впоследствии название булевой алгебры. Благодаря этой публикации Буль в 1849 был назначен профессором математики Куинз-колледжа (Корк, Ирландия), где преподавал до конца жизни. В 1857 был избран членом Лондонского королевского общества. Основные идеи Буля суммированы в его работе Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей (An Investigation of the Laws of Thought, on Which Are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities, 1854). Здесь впервые определено в явном виде исчисление классов (или множеств), введено обозначение для их пересечения, объединения и т.д., показано, что исчисление классов можно интерпретировать как исчисление высказываний. Булевы алгебры — особые алгебраические системы, для которых определены две операции, — нашли широкое применение в различных разделах математики: в теории вероятностей, топологии, функциональном анализе, а также в создании вычислительных машин. Умер Буль в Баллинтемпле (графство Корк, Ирландия) 8 декабря 1864.

* Огастес (Август) де Морган (англ. Augustus de Morgan, 27 июня 1806), Мадура, Индия — 8 марта 1871, Лондон) — шотландский математик и логик; профессор математики университетского колледжа в Лондоне (1828—1831, 1836—1866); первый президент (1866) Лондонского математического общества. Основные труды: по математической логике и теории рядов; к своим идеям в алгебре логики пришёл независимо от Дж. Буля; изложил (1847) элементы логики высказываний и логики классов, дал первую развитую систему алгебры отношений; с его именем связаны известные теоретико-множественные соотношения (законы де Моргана).

* Функции алгебры логики. Табличное задание функций. Элементарные функции, их свойства, таблица операций, коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность элементарных функций. Формулы и функции алгебры логики. Теоремы о разложении функций по одной и нескольким переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма. Задача о ВЫПОЛНИМОСТИ. Определение понятия NP-трудности задач. Функциональная полнота систем функций алгебры логики. Замкнутые классы. Пять предполных замкнутых классов T0, T1, L, S, M. Пересечение данных классов. Теорема о функции двойственной к суперпозиции. Критерий функциональной полноты систем функций алгебры логики (теорема Поста). Примеры полных систем функций алгебры логики. Основная лемма. Лемма о несамодвойственной функции. Лемма о немонотонной функции. Лемма о нелинейной функции. Следствия из критерия полноты.

* Функции алгебры логики. Область определения логических или булевых переменных 0 и 1 Область значений функций также 0 и 1 Функция от одной переменной f(x) x f(x) 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 x x 1

* Операции над двумя переменными (двухместные, бинарные операции) x y x y x y x y x y x+y x|y x y 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 2n конъюнкция & и min(x,y) дизъюнкция max (x,y) импликация эквивалентность сумма по модулю 2 + штрих (Шеффера) | “не x или не y” стрелка (Пирса) “не x и не y”.

* Индуктивное определение формулы: Пусть U - множество переменных. Тогда множество формул алгебры логики над U определяется следующим образом: 1. Всякая переменная - формула. 2. Константы 0 и 1 - формулы. 3. Если А - формула, то А (или в другой записи ) - формула. 4. Если А и В - формулы, то (А В), (А В), (А В), (А+В), (А В), (А В), (А В) - формулы. 5. Формулами являются те и только те выражения, которые могут быть получены из констант, переменных и логических связок за конечное число шагов 1- 4.

* Определение. Функция от n переменных определенная на множестве и принимающая значения из множества {0, 1}, называется функцией алгебры логики или булевой функцией. F(x1 ,x2 ,x3,…, xn),

* «Табличное» задание функции x1 x2 ... xn-1 xn f(x1, x2, ... xn-1, xn) 0 0 ... 0 0 f(0, 0, ... , 0, 0) 0 0 ... 0 1 f(0, 0, ... , 0, 1) 0 0 ... 1 0 f(0, 0, ... , 1, 0) ...................... 1 1 ... 1 1 f(1, 1, ... , 1, 1) 2n

* Алгебраические свойства элементарных операций 1. Коммутативность (или перестановочность) операции означает, что . Логическая операция коммутативна, если связка принадлежит следующему множеству связок (существенно только, чтобы символ в равенстве всюду имел один и тот же смысл):

* 2. Ассоциативность операции означает, что .Свойство ассоциативности позволяет записывать формулы, содержащие одинаковые ассоциативные связки, без скобок, например, . Логическая операция ассоциативна, если связка принадлежит следующему множеству связок (существенно только, чтобы символ в равенстве всюду имел один и тот же смысл): .

* 3. Дистрибутивность (распределительный закон) операции относительно операции означает, что . Дистрибутивность конъюнкции: - дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции; - дистрибутивность конъюнкции относительно суммы по модулю 2. Дистрибутивность дизъюнкции: - дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции; - дистрибутивность дизъюнкции относительно импликации; - дистрибутивность дизъюнкции относительно эквивалентности.

* Дистрибутивность импликации: - дистрибутивность импликации относительно конъюнкции; - дистрибутивность импликации относительно дизъюнкции; - дистрибутивность импликации относительно импликации.

* 4. Имеет место следующее соотношение для двойного отрицания:

* 5. Имеют место следующие соотношения между отрицанием, конъюнкцией и дизъюнкцией: закон (правила) де Моргана. Указанные соотношения отражают отношение двойственности между дизъюнкцией и конъюнкцией.

* 6. Имеют место следующие соотношения, связанные с “навешиванием отрицания” на элементарные логические функции:

* 7. Константы могут быть выражены следующим образом:

* 8. Правила поглощения:

* 9. Выполняются следующие свойства конъюнкции и дизъюнкции:

* Все указанные тождества могут быть проверены путем сопоставления функций, реализуемых правой и левой частями формул, сопоставление таблиц значений функций. Все элементарные функции могут быть выражены через одну-единственную: штрих Шеффера или стрелку Пирса.

* Определение. Через P2(n) будем обозначать множество всех разных булевых функций размерности n. Теорема. Число p2(n) всех функций из P2(n), зависящих от переменных x1, x2, ... , xn , равно .

* Переменная xi (1 i n) функции f(x1, x2, ... ,xi-1, xi , xi+1, ... , xn ) из P2(n)называется существенной, если можно указать такие наборы и значений переменных, что В противном случае переменную xi называют несущественной или фиктивной переменной функции f. Две функции f(x1, x2, ... ,xi-1, xi , xi+1, ... , xn ) и g(x1, x2, ... ,xi-1, xi , xi+1, ... , xn ) называются равными, если множества их существенных переменных совпадают и на любых двух наборах (x1, x2, ... ,xi-1, xi , xi+1, ... , xn ) и (y1, y2, ... ,yi-1, yi , yi+1, ... , yn ), различающихся быть может только значениями несущественных переменных, значения функций одинаковы: f(x)=g(y). Если f(x) и g(y) - равные функции, то одну из них можно получить из другой путем добавления и/или изъятия несущественных переменных.

* 8. Правила поглощения:

* Разложение функций алгебры логики по переменным Чтобы иметь возможность единообразно записывать переменные с отрицанием и без отрицания введем следующее обозначение:

* Легко видеть, что x = 1 тогда и только тогда, когда x = , то есть значение “основания” равно значению “показателя”.

* Лемма. (О разложении функции по одной переменной). Пусть f(x1 , ... , xn) - произвольная функция алгебры логики, тогда справедливо следующее представление f в форме разложения по переменной x1 : (2.1)

* Доказательство. Отметим прежде всего, что представление (2.1), естественно, справедливо для произвольной переменной xi из множества переменных функции f. Для доказательства рассмотрим произвольный набор значений переменных ( 1, ... , n) и покажем, что левая и правая части соотношения (2.1) принимают на нем одно и то же значение. Рассмотрим набор значений переменных (1, 2, ... , n). Левая часть (2.1) принимает на этом наборе значение f(1, 2 ,..., n ), а правая часть - значение 1 f(1, 2, ... , n ) 0 f(0, 2, ... , n ) = f (1, 2, ... , n ). Таким образом, на наборах (1, 2, ... , n) левая и правая части (2.1) принимают одинаковые значения. Рассмотрим набор значений переменных (0, 2, ... , n). Левая часть (2.1) принимает на этом наборе значение f(0, 2 ,..., n ), а правая часть - значение 0 f(1, 2, ... , n ) 1 f (0, 2, ... , n ) = f (0, 2, ... , n ). Таким образом, на наборах (0, 2, ... , n) левая и правая части (2.1) принимают одинаковые значения. Тем самым мы доказали, что левая и правая части соотношения (2.1) принимают одинаковые значения на всех наборах ( 1, ... , n).

* Лемма 2.3. Конъюнкция (произведение) тогда и только тогда, когда . Доказательство. Произведение (конъюнкция) равно 1 тогда и только тогда, когда каждый сомножитель равен 1, но x = 1 тогда и только тогда, когда x = .

* В дальнейшем будем употреблять следующие обозначения:

* Теорема 2.4. (О разложении функции по нескольким переменным). Пусть f(x1 , ... , xn) - произвольная функция алгебры логики. Тогда ее можно представить в следующей форме: (2.2)

* Доказательство. Рассмотрим произвольный набор значений переменных ( 1, ... , n) и покажем, что левая и правая части соотношения (2.2) принимают на нем одно и то же значение. Левая часть дает f( 1 ,..., k , k+1 ,..., n). Правая часть дает

* Представление (2.2) называется дизъюнктивным разложением функции по k переменным. Пример. Для k = 2 разложение в дизъюнктивную форму имеет вид:

* Выпишем такое разложение для конкретной функции трех переменных по переменным x2 и x3:

* Если k = n , то получаем разложение Оно может быть преобразовано при f(x1, ... , xn) 0 следующим образом:

* Итак, в этом случае разложение имеет вид: Это разложение называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (совершенная ДНФ.). Оно определено для любой функции f, не равной константе 0.

* Теорема 2.5. Произвольную функцию алгебры логики можно выразить формулой при помощи операций , , , причем операция применяется только к переменным

* Доказательство. 1. Пусть f(x1, ... , xn) = 0. Тогда, очевидно, f(x1, ... , xn) = x1 x1 . 2. Пусть f(x1, ... , xn) 0. Представим ее в форме совершенной ДНФ: Таким образом, в обоих случаях функция f выражается в виде формулы через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание, причем отрицание применяется только к символам переменных.

* Любую булеву функцию можно выразить формулой над множеством операций { , , }, состоящим из трех функций: отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. Данная теорема носит конструктивный характер, так как она позволяет для каждой функции построить реализующую ее формулу (совершенную ДНФ). А именно, берем таблицу для функции f(x1, ... , xn) (f 0) и отмечаем в ней все строки ( 1, ... , n), в которых f( 1, ... , n) =1, для каждой такой строки образуем логическое произведение а затем соединяем все полученные конъюнкции знаком дизъюнкции.

* Пример. Построить совершенную ДНФ для функции, заданной таблицей: Имеем: x1 x2 x3 f(x1, x2, x3) x1 x2 x3 f(x1, x2, x3) 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1

* Задача выполнимости булевых формул (SAT или ВЫП) — задача распознавания, важная для теории вычислительной сложности. Экземпляром задачи SAT является булева формула, состоящая только из имен переменных, скобок и операций (И), (ИЛИ) и (HE). Задача заключается в следующем: можно ли назначить всем переменным, встречающимся в формуле, значения ЛОЖЬ и ИСТИНА так, чтобы формула стала истинной. Согласно теореме Кука, доказанной Стивеном Куком в 1971-м году, задача SAT NP-полна.

* Чтобы четко сформулировать задачу распознавания, необходимо условиться об алфавите, с помощью которого задаются экземпляры языка. Этот алфавит должен быть фиксирован и конечен. Обычно используют следующий алфавит: { , , , (, ), x, 0, 1}. При использовании такого алфавита скобки и операторы записываются естественным образом, а переменные получают следующие имена: x1, x10, x11, x100 и т. д., согласно их номерам, записанным в двоичной системе счисления. Пусть некоторая булева формула, записанная в обычной математической нотации, имела длину N символов. В ней каждое вхождение каждой переменной было описано хотя бы одним символом, следовательно, всего в данной формуле не более N переменных. Значит, в предложенной выше нотации каждая переменная будет записана с помощью символов. В таком случае, вся формула в новой нотации будет иметь длину символов, то есть длина строки возрастет в полиномиальное число раз. Например, формула примет вид

* Вычислительная сложность В 1971-м году в статье Стивена Кука был впервые введен термин «NP-полная задача», и задача SAT была первой задачей, для которой доказывалось это свойство. В доказательстве теоремы Кука каждая задача из класса NP в явном виде сводится к SAT. После появления результатов Кука была доказана NP-полнота для множества других задач. При этом чаще всего для доказательства NP-полноты некоторой задачи приводится полиномиальное сведение задачи SAT к данной задаче, возможно в несколько шагов, то есть с использованием нескольких промежуточных задач.

* Две задачи

*

*

*

*

* Функциональная полнота систем функций алгебры логики Выше мы видели, что всякая функция алгебры логики может быть выражена в виде формулы через элементарные функции , x y, x y. В связи с этим возникает вопрос, какими свойствами должна обладать система функций, чтобы через функции этой системы можно было выразить произвольную функцию алгебры логики? Новые функции получаются из имеющихся в заданной системе функций с помощью операций замены переменных и суперпозиции. Опишем эти две операции.

* 1. Замена переменных. Пусть f(x1, x2, ... , xn) - заданная функция алгебры логики. Будем говорить, что функция (y1, y2, ... , yn) получена операцией замены переменных из функции f(x1, x2, ... , xn), если осуществлена подстановка переменных

* Пример. Пусть имеется функция Тогда при замене переменных из функции можно получить функцию .

* 2. Суперпозиция функций алгебры логики. Пусть имеется функция f(x1, x2, ... , xn) и функции , тогда функцию будем называть суперпозицией функции f(x1, x2, ... , xn) и функций . Другими словами: пусть F = { fj } - набор функций алгебры логики, не обязательно конечный. Функция f называется суперпозицией функций из множества F или функцией над F, если она получена из функции путем замены одной или нескольких ее переменных функциями из множества F.

* Пример. Пусть задано множество функций F = {f1(x1), f2 (x1 ,x2 ,x3 ), f3(x1 ,x2 )}. Тогда суперпозициями функций из F будут, например, функции: φ1(x2, x3) = f3( f1(x2), f1(x3)); φ2(x1, x2) = f2 (x1 , f1(x1 ), f3(x1 ,x2 )). Cовершенная ДНФ - суперпозиция функций из множества .

* Система функций называется полной, если при помощи операций суперпозиции и замены переменных из функций этой системы может быть получена любая функция алгебры логики.

* Мы уже имеем некоторый набор полных систем: {x+y, xy, 1}. Как определить условия, при которых система полна?

* Замкнутые классы. Множество (класс) K функций алгебры логики называется замкнутым классом, если оно содержит все функции, получающиеся из K операциями суперпозиции и замены переменных, и не содержит никаких других функций. Пусть K - некоторое подмножество функций из P2(n). Замыканием K называется множество всех булевых функций, представимых с помощью операций суперпозиции и замены переменных функций из множества K. Замыкание множества K обозначается через [K]. В терминах замыкания можно дать другие определения замкнутости и полноты (эквивалентные исходным): K- замкнутый класс, если K = [K]; K - полная система, если [K] = P2(n).

* Примеры. {0}, {1} - замкнутые классы. Множество функции одной переменной - замкнутый класс. - замкнутый класс. Класс {1, x+y} не является замкнутым классом.

* Замкнутые классы. 1. Т0 - класс функций, сохраняющих 0. Обозначим через Т0 класс всех функций алгебры логики f(x1, x2, ... , xn), сохраняющих константу 0, то есть функций, для которых f(0, ... , 0) = 0. 0, x, xy, x y, x+y T0; 1, T0. Из того, что T0 следует, например, что нельзя выразить через дизъюнкцию и конъюнкцию.

* Поскольку таблица для функции f из класса Т0 в первой строке содержит фиксированное значение 0, то для функций из Т0 можно задавать произвольные значения только на 2n - 1 наборе значений переменных, то есть , где - множество функций, сохраняющих 0 и зависящих от n переменных. Покажем, что Т0 - замкнутый класс. Так как x T0 , то для обоснования замкнутости достаточно показать замкнутость относительно операции суперпозиции, поскольку операция замены переменных есть частный случай суперпозиции с функцией x.

*

* 2. T1 - класс функций, сохраняющих 1. f(1, ... , 1) = 1 1, x, xy, x y, x y T1; 0, , x+y T1 Из того, что x + y T1 следует, например, что x + y нельзя выразить через дизъюнкцию и конъюнкцию.

* Т1 - замкнутый класс

* 3. L - класс линейных функций. 0, 1, x, x+y, x1 x2 = 1+ x1 + x2, = x+1 L; xy, x y L .

* Докажем, что x y L . Предположим противное. Будем искать выражение для x y в виде линейной функции с неопределенными коэффициентами: При x = y = 0 имеем =0, при x = 1, y = 0 имеем = 1, при x = 0, y = 1 имеем = 1, но тогда при x = 1, y = 1 имеем 1 1 1 + 1, что доказывает нелинейность функции дизъюнкция x y. Доказательство замкнутости класса линейных функций очевидно.

* Поскольку линейная функция однозначно определяется заданием значений n+1 коэффициента 0, ... , n , число линейных функций в классе L(n) функций, зависящих от n переменных равно 2n+1.

* 4. S - класс самодвойственных функций. Функция , определяемая равенством называется двойственной к функции Таблица для двойственной функции (при стандартной упорядоченности наборов значений переменных) получается из таблицы для исходной функции инвертированием (то есть заменой 0 на 1 и 1 на 0) столбца значений функции и его переворачиванием.

* 0* = 1, 1* = 0, x* = x, (x1 x2)* = x1 x2, (x1 x2)* = x1 x2. (f*)* = f функция f является двойственной к f*.

* Теорема. Если функция получена как суперпозиция функций f, f1, f2, ... , fm, то функция, двойственная к суперпозиции, есть суперпозиция двойственных функций.

* Доказательство. φ*(x1 ,..., xn) = f( x1 ,..., xn) =

* Обозначим через S класс всех самодвойственных функций из P2: S = {f | f* = f } x, S; 0, 1, xy, x y S . Для самодвойственной функции имеет место тождество

* На наборах и , которые мы будем называть противоположными, самодвойственная функция принимает противоположные значения. Отсюда следует, что самодвойственная функция полностью определяется своими значениями на первой половине строк стандартной таблицы. Поэтому число самодвойственных функций в классе S(n) функций, зависящих от n переменных, равно:

* Докажем теперь, что класс S замкнут. Так как x S , то для обоснования замкнутости достаточно показать замкнутость относительно операции суперпозиции, поскольку операция замены переменных есть частный случай суперпозиции с функцией x.

* Пусть . Тогда достаточно показать, что Последнее устанавливается непосредственно:

* 5. М - класс монотонных функций. Набор предшествует набору, если i i для всех i = 1, ... , n. Наборы α и β называются сравнимыми, если либо α≤β либо β≤α.В случае, когда ни одно из этих оотношений не выполняется, то наборы называются несравнимыми.

*

* Функция алгебры логики называется монотонной, если для любых двух наборов и , таких, что , имеет место неравенство . Множество всех монотонных функций алгебры логики обозначаетcя через М, а множество всех монотонных функций, зависящих от n переменных - через М(n).

* 0, 1, x, xy, x y M; x+y, x y, x y M . Покажем, что класс монотонных функций М - замкнутый класс. Так как x М, то для обоснования замкнутости достаточно показать замкнутость относительно операции суперпозиции, поскольку операция замены переменных есть частный случай суперпозиции с функцией x.

* наборы переменных, соответственно, функций , f1, ... , fm , причем множество переменных функции состоит из тех и только тех переменных, которые встречаются у функций f1, ... , fm .