Презентация на тему: Вписанные многоугольники

Вписанные многоугольники Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины принадлежат окружности. Окружность при этом называется описанной около многоугольника. Теорема 1. Около всякого треугольника можно описать окружность. Ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Теорема 2. Суммы противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равны 180о. 900igr.net

Описанные многоугольники Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной в многоугольник Теорема 3. В любой треугольник можно вписать окружность. Ее центром будет точка пересечения биссектрис этого треугольника. Теорема 4. Суммы противоположных сторон четырехугольника, описанного около окружности, равны.

Вписанные и описанные треугольники Теорема 5. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. Теорема 7. Радиус r окружности, вписанной в треугольник, выражается формулой , где a, b, c – стороны треугольника S – его площадь. Теорема 6. Радиус R окружности, описанной около правильного треугольника, выражается формулой , где a, b, c – стороны треугольника S – его площадь.

Упражнение 1 Сторона равностороннего треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Ответ: 1.

Упражнение 2 Сторона равностороннего треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Ответ: 2.

Упражнение 3 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см. Найдите радиус описанной окружности.  Ответ: 5.

Упражнение 4 Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 4 и 3, считая от вершины. Найдите периметр треугольника. Ответ: 20.

Упражнение 5 Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ: 30о.

Упражнение 6 Сторона AB треугольника ABC равна , угол C равен 60о. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Ответ: 1.

Упражнение 7 Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность радиуса 6. Ответ: 12.

Упражнение 8 Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной . Ответ: 1.

Упражнение 9 Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см. Угол между диагоналями равен 60о. Найдите радиус описанной окружности.  Ответ: 5.

Упражнение 10 Около окружности радиуса, равного , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанного около этого квадрата. Ответ: 2.

Упражнение 11 Сторона ромба равна 4, острый угол – 30о. Найдите радиус вписанной окружности.  Ответ: 1.

Упражнение 12 Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 2 и 4. Найдите среднюю линию трапеции.  Ответ: 3.

Упражнение 13 Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 20, средняя линия 5 см. Найдите боковую сторону трапеции. Ответ: 5.

Упражнение 14 Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 100о. Найдите угол C.  Ответ: 80о.

Упражнение 15 Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 80о и 60о. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ: 120о.

Упражнение 16 В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 11, CD = 17. Найдите периметр четырехугольника. Ответ: 56.

Упражнение 17 Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 20, две его стороны равны 4 и 5. Найдите большую из оставшихся сторон. Ответ: 6.

Упражнение 18 В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 11, BC = 10 и CD = 15. Найдите четвертую сторону четырехугольника. Ответ: 16.

Упражнение 19 Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса 5? Ответ: 5.

Упражнение 20 Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен . Ответ: 3.

Упражнение 21 Сторона AB треугольника ABC равна , радиус описанной окружности равен 1. Найдите угол C. Ответ: 45о.

Упражнение 22 Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2, угол при вершине равен 120о. Найдите диаметр описанной окружности. Ответ: 4.

Упражнение 23 Сторона BC треугольника ABC равна , угол A равен 45о. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Ответ: 2.

Упражнение 24 Сторона AB треугольника ABC равна 10, радиус описанной окружности равен 10. Найдите угол C. Ответ: 150о.

Упражнение 25 Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности. Ответ: 25.

Упражнение 26 В треугольнике ABC AC = 8, BC = 6, угол C равен 90о. Найдите радиус вписанной окружности. Ответ: 2.

Упражнение 27 Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 10, основание равно 12. Найдите радиус вписанной окружности. Ответ: 3.

Упражнение 28 Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно 6. Найдите радиус описанной окружности. Ответ: 5.

Упражнение 29 Сторона AB треугольника ABC равна 10. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности, если противолежащий этой стороне угол C равен 150о. Ответ: 10.

Упражнение 30 Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 36. Найдите ее среднюю линию.  Ответ: 9.

Упражнение 31 В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, угол A равен 75о, угол B равен 90о. Найдите разность двух других углов.  Ответ: 15о.

Упражнение 32 Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60о, большее основание равно 10. Найдите радиус описанной окружности. Ответ: 5.

Упражнение 33 Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как 2:3:4. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность.  Ответ: 90о.

Упражнение 34 Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6, высота равна 7. Найдите радиус описанной окружности.  Ответ: 5.

Упражнение 35 Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 20, ее большая боковая сторона равна 6. Найдите радиус окружности. Ответ: 2.

Упражнение 36 Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 24. Ответ: 9.

Упражнение 37 Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 72. Найдите n. Ответ: 10.

Упражнение 38 Найдите диаметр окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной . Ответ: 3.

Упражнение 39 Около окружности радиуса, равного , описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанного около этого шестиугольника. Ответ: 2.

Упражнение 40 К окружности, вписанной в треугольник АВС, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 3, 4, 5. Найдите периметр данного треугольника. Ответ: 12.

Упражнение 41 В треугольнике ABC AC = 8, BC = 6, угол C равен 90о. Найдите радиус описанной окружности. Ответ: 5.

Упражнение 42 В равнобедренном треугольнике боковые стороны делятся точками касания вписанной в треугольник окружности в отношении 7:5, считая от вершины, противоположной основанию. Найдите периметр треугольника, если его основание равно 10. Ответ: 34.

Упражнение 43 Угол B четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 70о. Найдите угол D. Ответ: 110о.

Упражнение 44 Меньшая сторона прямоугольника равна 36. Один из углов, образованных диагоналями 120о. Найдите диаметр описанной окружности. Ответ: 72.

Упражнение 45 Периметр правильного шестиугольника равен 36. Найдите диаметр описанной окружности. Ответ: 12.

Упражнение 46 Три последовательные стороны четырехугольника, в который можно вписать окружность, равны 6 см, 8 см и 9 см. Найдите четвертую сторону. Ответ: 7.

Упражнение 47 Сторона ромба равна 8 см, острый угол – 30о. Найдите радиус вписанной окружности.  Ответ: 2.

Упражнение 48 Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 4 и 6. Найдите среднюю линию трапеции. Ответ: 5.

Упражнение 49 Основания равнобедренной трапеции равны 16 и 12, радиус описанной окружности равен 10. Найдите высоту трапеции. Ответ: 14.

Упражнение 50 Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 70. Найдите n. Ответ: 9.